Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

K
ν
(x) =
∞
Z
0
dξe
−x cosh ξ
cosh νξ ,
x → ∞
Y
00
(x) + Y = 0
ν ν
Y (x) → C
1ν
cos x+C
2ν
sin x ⇒ y(x) →
A
ν
√
x
cos (x + ψ
ν
) .
A
ν
ψ
ν
x → ∞
J
3
2
(x) → −
v
u
u
t
2
πx
cos x , J
5
2
(x) → −
v
u
u
t
2
πx
sin x , ...
J
n+
1
2
(x) →
v
u
u
t
2
πx
sin
x−
1
2
πn
!
=
v
u
u
t
2
πx
cos
"
x−
1
2
π
n+
1
2
!
−
π
4
#
.
n+
1
2
ν
J
ν
(x → ∞) '
v
u
u
t
2
πx
cos
x−
πν
2
−
π
4
!
,
Y
ν
(x → ∞) '
v
u
u
t
2
πx
sin
x−
πν
2
−
π
4
!
,
H
(1)
ν
(x → ∞) '
v
u
u
t
2
πx
e
i
(
x−
πν
2
−
π
4
)
,
Îäíàêî, íàèáîëåå èçâåñòíûì èíòåãðàëüíûì ïðåäñòàâëåíèåì äëÿ ýòîé ôóíê-
öèè ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà (Schl
                          ai, 1873)
                                   Z∞
                        Kν (x) =        dξe−x cosh ξ cosh νξ ,                       (108)
                                   0

êîòîðàÿ íàøëà øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ðåëÿòèâèñòñêîé ñòàòèñòèêå.

    2.4. Îá àñèìïòîòè÷åñêîì ïîâåäåíèè ôóíêöèé Áåññåëÿ ïðè
                    áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà

     Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãëàâíóþ ÷àñòü ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè Áåññåëÿ
ïðîèçâîëüíîãî èíäåêñà ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, ñëåäóåò îáðàòèòü
âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè x → ∞ óðàâíåíèå (4) ïðåâðàùàåòñÿ â

                                 Y 00 (x) + Y = 0                                    (109)

íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ èíäåêñà ν . Èíäåêñ ν ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî ïðè êîíêðå-
òèçàöèè êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ:
                                           Aν
      Y (x) → C1ν cos x+C2ν sin x ⇒ y(x) → √ cos (x + ψν ) .                         (110)
                                            x
Äëÿ ïîëóöåëîãî èíäåêñà êîíñòàíòû Aν è ψν â (110) ìîãóò áûòü íåïîñðåä-
ñòâåííî âû÷èñëåíû. Äåéñòâèòåëüíî, ñëåäóÿ ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóê-
öèè, ëåãêî óñòàíîâèòü, ÷òî ïðè x → ∞
                         v                                  v
                              2                                  2
                         u                                  u
                         u                                  u
              J 23 (x) → −
                         t
                                cos x ,     J 52 (x) → −    t
                                                                   sin x , ...
                             πx                                 πx
                v                          v
                   2       1         u 2        1      1   π
                u                  !       u            "                 !      #
                                                                   (111)
                u
     Jn+ 21 (x) →
                t
                     sin x− πn = t cos x− π n+ − .
                  πx       2          πx        2      2   4
Çàìåíèâ n+ 21 íà ïðîèçâîëüíîå ν , ïîëó÷èì èçâåñòíûå àñèìïòîòè÷åñêèå ðàç-
ëîæåíèÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà
                                       v
                                            2       πν π
                                       u                           !
                                       u
                    Jν (x → ∞) '       t
                                              cos x− − ,
                                           πx        2 4
                                       v
                                            2       πν π
                                       u                           !
                                       u
                    Yν (x → ∞) '       t
                                              sin x− − ,
                                           πx        2 4
                                            v
                                                 2 i(x− πν2 − π4 )
                                            u
                      Hν(1) (x → ∞) '
                                            u
                                            t
                                                   e               ,
                                                πx
                                           24

Страницы