Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
ν
(kx)
kx
x
2
d
2
dx
2
J
ν
(kx) + x
d
dx
J
ν
(kx) + (k
2
x
2
− ν
2
)J
ν
(kx) = 0 .
k = k
1
k = k
2
d
dx
"
x
d
dx
J
ν
(k
1
x)
#
+
k
2
1
x −
ν
2
x
J
ν
(k
1
x) = 0 ,
d
dx
"
x
d
dx
J
ν
(k
2
x)
#
+
k
2
2
x −
ν
2
x
J
ν
(k
2
x) = 0 ,
J
ν
(k
2
x) J
ν
(k
1
x)
(k
2
2
− k
2
1
)xJ
ν
(k
1
x)J
ν
(k
2
x) =
=
d
dx
(
x
"
J
ν
(k
2
x)
d
dx
J
ν
(k
1
x) − J
ν
(k
1
x)
d
dx
J
ν
(k
2
x)
#)
x (0, l)
x = 0
ν
x
ν
ν > −1
(k
2
2
−k
2
1
)
l
Z
0
xdxJ
ν
(k
1
x)J
ν
(k
2
x) =
= l [k
1
J
ν
(k
2
l)J
0
ν
(k
1
l) −k
2
J
ν
(k
1
l)J
0
ν
(k
2
l)] ,
x > 0 J
ν
(k
1
l) = 0
                                   ËÅÊÖÈß III.
                 Ðÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ è èõ ïðèëîæåíèÿ

                 3.1. Îðòîãîíàëüíîñòü ôóíêöèé Áåññåëÿ

      Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (45), ôóíêöèÿ Áåññåëÿ Jν (kx) ñ àðãóìåíòîì
kx åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
               d2                d
            x2
                 2
                   J ν (kx) + x    Jν (kx) + (k 2 x2 − ν 2 )Jν (kx) = 0 .         (115)
              dx                dx
Ïåðåïèøåì (115) â ñàìîñîïðÿæåííîì âèäå (3) äëÿ k = k1 è k = k2

                                         ν2 
                                                            
                  d  d
                    "                      #
                                   2
                    x Jν (k1 x) + k1 x −
                                             Jν (k1 x) = 0 ,
                 dx dx                   x

                                         ν2 
                                                            
                  d  d
                    "                      #
                                   2
                    x Jν (k2 x) + k2 x −
                                             Jν (k2 x) = 0 ,                     (116)
                 dx dx                   x
óìíîæèì ïåðâîå èç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé íà Jν (k2 x), âòîðîå íà Jν (k1 x) è
íàéäåì èõ ðàçíîñòü. Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ïðèâåäåì ê âèäó

                            (k22 − k12 )xJν (k1 x)Jν (k2 x) =
                 d              d                     d
                    (   "                                                    #)
             =      x Jν (k2 x) Jν (k1 x) − Jν (k1 x) Jν (k2 x)      (117)
                dx             dx                    dx
è âûïîëíèì èíòåãðèðîâàíèå ïî x â èíòåðâàëå (0, l). Ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðà-
ëà îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîé â ïðàâîé ÷àñòè (117) ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûðàæåíèå
â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ îáðàòèëîñü â íóëü íà íèæíåì ïðåäåëå x = 0. Ó÷èòûâàÿ
òîò ôàêò, ÷òî ðàçëîæåíèå â ðÿä ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà ν (25) íà÷èíàåòñÿ
ñî ñòåïåííîãî ìíîæèòåëÿ xν , ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðàâåíñòâî íóëþ âûïîëíèìî
ïðè ν > −1. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó èíòåãðàëüíîìó ñîîòíîøå-
íèþ
                                       Zl
                         (k22 −k12 )           xdxJν (k1 x)Jν (k2 x) =
                                       0

                   = l [k1 Jν (k2 l)Jν0 (k1 l) − k2 Jν (k1 l)Jν0 (k2 l)] ,        (118)

â êîòîðîì øòðèõ îáîçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âñåìó àðãóìåíòó, óêàçàííîìó â
ñêîáêàõ. Ïîñêîëüêó ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà èìåþò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî
âåùåñòâåííûõ êîðíåé â èíòåðâàëå x > 0, ïðåäïîëîæèì, ÷òî Jν (k1 l) = 0 è


                                                      26

Страницы