Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

(0, l) x ν > −1 µ
(ν)
1
, ...µ
(ν)
i
J
ν
(x)
f(x) (0, l)
f(x) =
∞
X
i=1
a
i
J
ν
µ
(ν)
i
x
l
.
a
i
xJ
ν
µ
(ν)
j
x
l
!
l
a
i
=
2
l
2
J
2
ν+1
(µ
(ν)
i
)
l
Z
0
xdxf(x)J
ν
µ
(ν)
i
x
l
.
f(x) (0, l)
l
R
0
√
xdxf(x) ν ≥ −
1
2
(0, l)
∂
∂t
U = a
2
∆U .
∆
∆ =
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂
∂ρ
!
+
1
ρ
2
∂
2
∂ϕ
2
+
∂
2
∂z
2
,
                                                                                         (ν)       (ν)
îðòîãîíàëüíà íà èíòåðâàëå (0, l) ñ âåñîì x, åñëè ν > −1, à µ1 , ...µi                                    - ýòî
ïîëîæèòåëüíûå êîðíè ôóíêöèè Áåññåëÿ Jν (x), çàíóìåðîâàííûå â ïîðÿäêå èõ
âîçðàñòàíèÿ. Ôóíêöèþ f (x), îïðåäåëåííóþ íà èíòåðâàëå (0, l), ìîæíî ðàçëî-
æèòü â ðÿä Ôóðüå-Áåññåëÿ
                                                                 
                                               ∞              (ν)
                                                             µi x 
                                                                                                         (124)
                                               X
                                     f (x) =         ai Jν 
                                                                           .
                                               i=1                l

Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ai íàõîäÿòñÿ ïî ñòàíäàðòíîé
                                           !        ñõåìå: ëåâóþ è ïðà-
                                                                  (ν)
                                                                 µj x
âóþ ÷àñòü (124) cëåäóåò äîìíîæèòü íà xJν                           l     , ïðîèíòåãðèðîâàòü â ïðåäå-
ëàõ îò íóëÿ äî l è âîñïîëüçîâàòüñÿ óñëîâèÿìè îðòîãîíàëüíîñòè-íîðìèðîâêè
(122).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì êîýôôèöèåíòû Ôóðüå-Áåññåëÿ
                                                                           
                                                     Zl                 (ν)
                                        2                              µi x 
                            ai =                          xdxf (x)Jν                .                   (125)
                                       2 (µ(ν) )
                                                                           
                                   l2 Jν+1 i     0
                                                                                 l

Îáñóæäåíèå âîïðîñîâ ñõîäèìîñòè ðÿäà Ôóðüå - Áåññåëÿ âûõîäèò çà ðàìêè
êóðñà, ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî îäíîé íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìîé ôîðìóëè-
ðîâêîé óñëîâèé, ãàðàíòèðóþùèõ òàêóþ ñõîäèìîñòü [1]:
Åñëè ôóíêöèÿ          f (x)   îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âíóòðè èíòåðâàëà                         (0, l),   à èí-
         Rl   √
òåãðàë            xdxf (x)    ñóùåñòâóåò è àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî ïðè                          ν ≥ − 12   ðÿä
         0
Ôóðüå-Áåññåëÿ          (124)   ñ êîýôôèöèåíòàìè              (125)      ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ âíóòðè

èíòåðâàëà         (0, l).

              3.3. Î íåêîòîðûõ ïðèëîæåíèÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ

   3.3.1. Çàäà÷à î ðàñïðîñòðàíåíèå òåïëà â öèëèíäðå êîíå÷íûõ
                                               ðàçìåðîâ

     Êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à òåïëîïðîâîäíîñòè [4,5] ïðèâîäèò ê èññëåäîâàíèþ
óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà
                                            ∂
                                               U = a2 ∆U .                                               (126)
                                            ∂t
Ñ ó÷åòîì ñèììåòðèè çàäà÷è îïåðàòîð Ëàïëàñà ∆ çàïèñûâàåòñÿ â öèëèíäðè-
÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
                                  1 ∂    ∂   1 ∂2 ∂2
                                                      !
                               ∆=      ρ   + 2 2+ 2,                                                     (127)
                                  ρ ∂ρ ∂ρ   ρ ∂ϕ  ∂z
                                                      28

Страницы