Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(t, ρ, ϕ, z)
R ρ=R z=0 z=h
U(t, R, ϕ, z) = U(t, ρ, ϕ, 0) = U(t, ρ, ϕ, h) = 0 .
F
U(0, ρ, ϕ, z) = F (ρ, ϕ, z) ,
U(t, ρ, ϕ, z) = T (t) R(ρ) Φ(ϕ) Z(z) .
U
˙
T (t)
T a
2
=
1
ρR
[ρR
0
(ρ)]
0
+
1
ρ
2
Φ
00
(ϕ)
Φ
+
Z
00
(z)
Z
.
ρ ϕ z
−λ
2
T (t)
T (t) = T
∗
e
−a
2
λ
2
t
Z
00
(z)
Z
= const ,
à èñêîìàÿ òåìïåðàòóðà èùåòñÿ êàê ôóíêöèÿ ÷åòûðåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåí-
íûõ U (t, ρ, ϕ, z). Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó
ïåðâîãî ðîäà, òî åñòü áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà
ðàäèóñà R (ρ=R), à òàêæå íà åãî íèæíåé (z=0) è âåðõíåé (z=h) êðûøêàõ
ïîääåðæèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà, ðàâíàÿ íóëþ:

                U (t, R, ϕ, z) = U (t, ρ, ϕ, 0) = U (t, ρ, ϕ, h) = 0 .   (128)

Íà÷àëüíîå óñëîâèå çàäàäèì ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôóíêöèè F

                            U (0, ρ, ϕ, z) = F (ρ, ϕ, z) ,               (129)

êîòîðàÿ îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âíóòðè öèëèíäðà è îáðàùàåòñÿ â íóëü íà
åãî ïîâåðõíîñòè â ñîãëàñèè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (128). Ñëåäóÿ ìåòîäó
ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (126) â âèäå:

                     U (t, ρ, ϕ, z) = T (t) R(ρ) Φ(ϕ) Z(z) .             (130)

Ïîäñòàâèâ äàííîå ïðîèçâåäåíèå â (126), âûïîëíèâ îïåðàöèè äèôôåðåíöèðî-
âàíèÿ è ðàçäåëèâ âñ¼ óðàâíåíèå íà U , ïîëó÷èì ðàâåíñòâî

                  Ṫ (t)    1    0    0  1 Φ00 (ϕ) Z 00 (z)
                         =    [ρR (ρ)] + 2        +         .            (131)
                  T a2     ρR           ρ Φ           Z
Çäåñü äëÿ êðàòêîñòè òî÷êîé îáîçíà÷åíà ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè. Ëåâàÿ ÷àñòü
ðàâåíñòâà (131) íå çàâèñèò íè îò ρ, íè îò ϕ, íè îò z , à ïîòîìó îáÿçàíà áûòü
êîíñòàíòîé. Ëîãèêà ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ýòà êîíñòàíòà â ïðèíöèïå ìîæåò áûòü
ïîëîæèòåëüíîé, íóëåâîé è îòðèöàòåëüíîé. Îäíàêî òîëüêî â ïîñëåäíåì ñëó-
÷àå, êîãäà êîíñòàíòó ìîæíî îáîçíà÷èòü êàê −λ2 , ðåøåíèå äëÿ âðåìåííîé
ôóíêöèè T (t)
                                                2 2
                                 T (t) = T ∗ e−a   λ t
                                                                         (132)

ýêñïîíåíöèàëüíî ñïàäàåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Ýòî ïðèìåð òîãî, êàê ôèçè-
÷åñêèå ìîòèâû íàêëàäûâàþò îãðàíè÷åíèÿ íà ñâîáîäó ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ. Ïðîäîëæàÿ òàêèå ðàññóæäåíèÿ, ìû âûíóæäåíû çàêëþ÷èòü, ÷òî
ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â (131) òàêæå ðàâíî êîíñòàíòå
                                  Z 00 (z)
                                           = const ,                     (133)
                                     Z

                                         29

Страницы