Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Z(0) =
Z(h) = 0 const =
κ
2
> 0
Z(z) = C
1
cosh κz + C
2
sinh κz ,
(0, h)
Z(z) = C
1
+ C
2
z
const = −k
2
< 0
Z(z) = C
1
cos kz + C
2
sin kz
k =
πn
h
, Z(z) = C
n
sin
πnz
h
!
.
Φ
00
(ϕ)
Φ
= const ,
Φ
ϕ
Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) .
const = −m
2
m
Φ(ϕ)
Φ(ϕ) = C
(1)
m
cos mϕ + C
(2)
m
sin mϕ .
R(ρ)
1
ρR
[ρR
0
(ρ)]
0
−
m
2
ρ
2
=
πn
l
!
2
− λ
2
è ýòà êîíñòàíòà äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé Z(0) =
Z(h) = 0. Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî äàííàÿ êîíñòàíòà ïîëîæèòåëüíà, òî åñòü const =
κ2 > 0, òî ðåøåíèå (133) ïðèîáðåòàåò âèä

                      Z(z) = C1 cosh κz + C2 sinh κz ,                (134)

è íèêàê íå ìîæåò îáðàòèòüñÿ â íóëü íà îáåèõ ãðàíèöàõ èíòåðâàëà (0, h). Åñëè
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êîíñòàíòà ðàâíà íóëþ, òî ðåøåíèå (133) ïðèìåò âèä

                               Z(z) = C1 + C2 z                       (135)

è òîæå íå ïîçâîëèò óäîâëåòâîðèòü ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Åñëè æå êîíñòàíòà
îòðèöàòåëüíà, òî åñòü, const = −k 2 < 0, òî ðåøåíèå

                        Z(z) = C1 cos kz + C2 sin kz                  (136)

óäîâëåòâîðèò íóëåâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, åñëè
                        πn                      πnz
                                                          !
                     k=    ,      Z(z) = Cn sin     .                 (137)
                         h                       h
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî
                               Φ00 (ϕ)
                                       = const ,                      (138)
                                 Φ
îäíàêî òåïåðü âìåñòî ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ ôóíêöèè Φ íåîáõîäèìî ïîòðå-
áîâàòü âûïîëíåíèå óñëîâèé ïåðèîäè÷íîñòè ïî ïîëÿðíîìó óãëó ϕ

                            Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) .                        (139)

Ïåðåáèðàÿ çàíîâî ñëó÷àè ñ ïîëîæèòåëüíîé, íóëåâîé è îòðèöàòåëüíîé êîí-
ñòàíòîé, íåìèíóåìî ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî òîëüêî îòðèöàòåëüíàÿ êîíñòàíòà
const = −m2 óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèþ (139), ïðè÷åì m ìîæåò áûòü òîëüêî
öåëûì ÷èñëîì. Òîãäà ôóíêöèÿ Φ(ϕ) ìîìåíòàëüíî íàõîäèòñÿ
                             (1)
                     Φ(ϕ) = Cm             (2)
                                 cos mϕ + Cm   sin mϕ .               (140)

Âîçâðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ äëÿ ôóíêöèè R(ρ), ïîäñòàâèì â (131) âñå íàéäåí-
íûå íàìè êîíñòàíòû
                                  m2
                                                   !2
                      1    0    0      πn
                        [ρR (ρ)] − 2 =                  − λ2          (141)
                     ρR           ρ     l
                                      30

Страницы