Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ρ
2
R
00
+ ρR
0
+
λ
2
−
πn
l
!
2
ρ
2
− m
2
R = 0 .
R(R) = 0
ρ = 0
λ
2
−
πn
l
2
=−γ
2
< 0
R(ρ) = C
(1)
m
I
m
(γρ) + C
(2)
m
K
m
(γρ) ,
I
m
K
m
K
m
C
(2)
m
=0 I
m
x > 0 ρ = R
λ
2
−
πn
l
2
= 0 m 6= 0
R(ρ) = C
(1)
m
ρ
m
+ C
(2)
m
ρ
−m
.
C
(2)
m
=0
ρ
m
ρ=R
λ
2
−
πn
l
2
= 0 m = 0
R(ρ) = C
1
log ρ + C
2
λ
2
−
πn
l
2
=σ
2
> 0
R(ρ) = C
(1)
m
J
m
(σρ) + C
(2)
m
Y
m
(σρ) .
Y
m
(σρ)
ρ = 0
è ïðèâåäåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ê âèäó
                                                    !2            
                                       πn
                 ρ2 R00 + ρR0 + λ2 −                    ρ2   − m2  R = 0 .          (142)
                                        l
Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ R(R) = 0 íà ïî-
âåðõíîñòè öèëèíäðà, à ïî ôèçè÷åñêèì ñîîáðàæåíèÿì ýòà ôóíêöèÿ îáÿçàíà
áûòü îãðàíè÷åííîé âíóòðè öèëèíäðà, â ÷àñòíîñòè, íà îñè ñèììåòðèè ρ = 0.
      ÷åòâåðòûé ðàç ïîâòîðèì ðàññóæäåíèÿ î êîíñòàíòàõ.
                     πn 2
     Åñëè λ2 −          < 0, òî óðàâíåíèå (142) ñâîäèòñÿ ê ìîäèôèöèðî-
                       
                      l   =−γ 2
âàííîìó óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, è åãî ðåøåíèå èìååò âèä:
                                 (1)
                         R(ρ) = Cm              (2)
                                     Im (γρ) + Cm   Km (γρ) ,                           (143)

ãäå Im è Km - ôóíêöèè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà. Êàê ìû óæå çíàåì,
ôóíêöèÿ Km íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò, åñëè å¼ àðãóìåíò ñòðåìèòñÿ ê íóëþ,
è ïîòîìó äàííàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò âõîäèòü â (143) òîëüêî ñ íóëåâûìè êîíñòàí-
òàìè Cm
      (2)
          =0. Ìû çíàåì òàêæå, ÷òî ó ôóíêöèè Im íåò âåùåñòâåííûõ êîðíåé
ïðè x > 0, à ïîòîìó çàñòàâèòü ðåøåíèå (143) îáðàòèòüñÿ â íóëü ïðè ρ = R
íåâîçìîæíî, êàê íåâîçìîæíî áûëî îáðàòèòü â íóëü ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíê-
öèè (134) íà âåðõíåé è íèæíåé êðûøêå öèëèíäðà îäíîâðåìåííî.
                     πn 2
     Åñëè λ2 −      = 0, íî m 6= 0, óðàâíåíèå (142) ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíå-
                       
                      l
íèå Ýéëåðà, ðåøåíèå êîòîðîãî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ñòåïåííûå ôóíêöèè
                                                (2) −m
                                        (1) m
                                R(ρ) = Cm  ρ + Cm  ρ .                                  (144)

Äàííàÿ ôóíêöèÿ îãðàíè÷åíà â íóëå òîëüêî åñëè Cm
                                              (2)
                                                  =0, íî òîãäà âîçðàñòàþ-
ùàÿ ôóíêöèÿ ρm íå ñìîæåò îáðàòèòüñÿ â íóëü ïðè ρ=R.
                     πn 2
     Åñëè λ2 −              = 0 è m = 0, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (142)
                       
                      l

                                   R(ρ) = C1 log ρ + C2                                 (145)

ïðèíèìàåò íåîãðàíè÷åííîå çíà÷åíèå íà îñè öèëèíäðà.
                                                      πn 2
     Îñòàåòñÿ ïðåäïîëîæèòü, ÷òî λ2 −                              > 0, òîãäà (142) ñâîäèòñÿ ê
                                                        
                                                       l   =σ 2
óðàâíåíèþ Áåññåëÿ, è åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä
                                    (1)
                            R(ρ) = Cm              (2)
                                        Jm (σρ) + Cm   Ym (σρ) .                        (146)

Ôóíêöèè Âåáåðà-Øëåôëè Ym (σρ), êàê ìû ñïåöèàëüíî ïîä÷åðêèâàëè â êîíöå
ðàçäåëà 1.2.2., ÿâëÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè ïðè ρ = 0, è ìû âíîâü îáÿçàíû

                                             31

Страницы