Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J
ν
(k
2
l) = 0 k
1
i
µ
(ν)
i
ν k
1
=
µ
(ν)
i
l
k
2
j k
2
=
µ
(ν)
j
l
k
2
1
6= k
2
2
i 6= j
l
Z
0
xdxJ
ν
µ
(ν)
i
x
l
J
ν
µ
(ν)
j
x
l
= 0 ,
(0, l) x
µ
(ν)
i
µ
(ν)
j
J
ν
(x)
k
1
k
2
k
1
= k k
2
→ k
l
Z
0
xdxJ
2
ν
(kx) = lim
k
2
→k
lk
(k
2
2
−k
2
)
J
0
ν
(kl)J
ν
(k
2
l)
,
k
2
l
Z
0
xdxJ
2
ν
(kx) =
l
2
2
[J
0
ν
(kl)]
2
.
kl
J
0
ν
(kl)=−J
ν+1
(kl)
l
Z
0
xdxJ
ν
µ
(ν)
i
x
l
J
ν
µ
(ν)
j
x
l
=
l
2
2
δ
ij
J
2
ν+1
µ
(ν)
i
.
ν > −1
J
ν
µ
(ν)
1
x
l
, J
ν
µ
(ν)
2
x
l
, ... , J
ν
µ
(ν)
i
x
l
, ...
Jν (k2 l) = 0. Èíûìè ñëîâàìè, ïóñòü ïàðàìåòð k1 ñâÿçàí ñ i-ûì ïî ñ÷åòó êîð-
                                                         (ν)
        (ν)                                             µ
íåì µi ôóíêöèè Áåññåëÿ èíäåêñà ν ñîîòíîøåíèåì k1 = il , à ïàðàìåòð k2 -
                                                       (ν)
                                                      µj
ñ j -ûì êîðíåì ïî ïðàâèëó k2 =                          l    . Òîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (118) îá-
ðàùàåòñÿ â íóëü. Åñëè ïðè ýòîì                        k12   6= k22 , ÷òî äëÿ íåêðàòíûõ ïîëîæèòåëüíûõ
êîðíåé îçíà÷àåò i 6= j , òî ïîëó÷àåì çíàìåíèòîå èíòåãðàëüíîå ñîîòíîøåíèå
                                                             
                                   Zl            (ν)        (ν)
                                                µi x   µj x 
                                        xdxJν 
                                                     Jν                  = 0,               (119)
                                   0
                                                        l               l
êîòîðîå ïî óñòîÿâøåéñÿ òåðìèíîëîãèè îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèè Áåññåëÿ îäíîãî
è òîãî æå èíäåêñà îðòîãîíàëüíû íà èíòåðâàëå (0, l) ñ âåñîâîé ôóíêöèåé x,
      (ν)      (ν)
åñëè µi     è µj       ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåñîâïàäàþùèå êîðíè ôóíêöèè Jν (x).
     Åñëè ïàðàìåòðû k1 è k2 ñîâïàäàþò, ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìîå ñî-
îòíîøåíèå íîðìèðîâêè äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ. ×òîáû ïîëó÷èòü ýòî ñîîòíî-
øåíèå, ïîëîæèì k1 = k , è ïóñòü k2 → k .  ýòîì ñëó÷àå èç (118) ñëåäóåò
ðàâåíñòâî
                        Zl
                                                                                    
                                                            lk
                             xdxJν2 (kx)         = lim  2 2 Jν0 (kl)Jν (k2 l) ,               (120)
                                                   k2 →k (k2 −k )
                        0
êîòîðîå ðàñêðûâàåòñÿ ïî ïðàâèëó Ëîïèòàëÿ äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî k2 . Ýòà
îïåðàöèÿ ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
                                        Zl                        l2 0      2
                                             xdxJν2 (kx)         = [Jν (kl)] .                  (121)
                                        0
                                                                  2
Åñëè kl åñòü îòëè÷íûé îò íóëÿ êîðåíü ôóíêöèè Áåññåëÿ, òî âòîðîå èç ñî-
îòíîøåíèé (57) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî Jν0 (kl)=−Jν+1 (kl). Ñ ó÷åòîì ýòîãî
îáñòîÿòåëüñòâà ñîîòíîøåíèå îðòîãîíàëüíîñòè - íîðìèðîâêè ïðèíèìàåò îêîí-
÷àòåëüíûé âèä
                                             
                   Zl            (ν)        (ν)
                                µi x   µj x                         l2       
                                                                                  (ν)
                                                                                      
                        xdxJν 
                                     Jν      
                                                                             2
                                                                      = δij Jν+1 µi     .       (122)
                   0
                                             l                   l     2
Íàïîìíèì, ÷òî îíî ñïðàâåäëèâî äëÿ ôóíêöèé Áåññåëÿ èíäåêñà ν > −1.

                                        3.2. Ðÿäû Ôóðüå-Áåññåëÿ

     Â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ñèñòåìà ôóíêöèé
                                                                      
                                (ν)           (ν)                 (ν)
                              µ1 x        µ2 x              µi x 
                                                                            
                                                                                                (123)
                                                                            
                          Jν        , Jν        , ... , Jν        , ...
                        
                                l             l                   l         
                                                                             


                                                                 27

Страницы