Три лекции по теории функций Бесселя. Балакин А.Б. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

H
(2)
ν
(x → ∞) '
v
u
u
t
2
πx
e
−i
(
x−
πν
2
−
π
4
)
.
x → ∞
Y
00
(x) − Y = 0 ⇒ Y (x) = C
1ν
cosh x + C
2ν
sinh x .
K
ν
(x → ∞) '
s
π
2x
e
−x
,
ν
K
±
1
2
(x)
J
ν
(x) ν
x = 0
ν
x = 0 ν = n = 1, 2, ...
n
                                         v
                                   2 −i(x− πν2 − π4 )
                                         u
                       Hν(2) (x → ∞) '                         (112)
                                         u
                                      e  t
                                                      .
                                  πx
Åñëè ìû èìååì äåëî ñ ôóíêöèÿìè Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà ïðè x → ∞,
òî èç óðàâíåíèÿ (4) ñëåäóåò, ÷òî

              Y 00 (x) − Y = 0 ⇒ Y (x) = C1ν cosh x + C2ν sinh x .        (113)

Ïîâòîðÿÿ âûøåïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ, ïîëó÷èì øèðîêî èçâåñòíîå àñèìï-
òîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè Ìàêäîíàëüäà
                                                  π −x
                                              s
                           Kν (x → ∞) '              e ,                  (114)
                                                  2x
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ãëàâíàÿ ÷àñòü ýòîé ôóíêöèè íå çàâèñèò îò ν è ñîâïàäàåò
ñ òî÷íûì çíà÷åíèåì äëÿ K± 1 (x) èç ôîðìóëû (81).
                              2


                     2.5. Î êîðíÿõ ôóíêöèé Áåññåëÿ

     Òåîðèÿ êîðíåé ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà äå-
òàëüíî ðàçðàáîòàíà è èçëîæåíà, íàïðèìåð, â êíèãàõ [1,2], îäíàêî îáñóæäåíèå
å¼ äåòàëåé âûõîäèò çà ðàìêè êóðñà. Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî îäíèì óòâåð-
æäåíèåì:
Ôóíêöèè Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà      Jν (x) äåéñòâèòåëüíîãî èíäåêñà ν   èìåþò áåñ-

÷èñëåííîå ìíîæåñòâî íóëåé, ðàñïîëîæåííûõ íà äåéñòâèòåëüíîé îñè ñèì-

ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè         x = 0.
Åñëè èíäåêñ   ν åñòü öåëîå ÷èñëî, òî âñå íóëè - ïðîñòûå çà èñêëþ÷åíèåì
çíà÷åíèÿ   x = 0, êîòîðîå ïðè ν = n = 1, 2, ... ÿâëÿåòñÿ íóëåì ñîîòâåòñòâó-
þùåé êðàòíîñòè   n.
     Óêàçàííûå ñâîéñòâà íóëåé ôóíêöèé Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà ëåãêî èëëþ-
ñòðèðóþòñÿ íà ïðèìåðå ôóíêöèé ïîëóöåëîãî èíäåêñà (ñëåäóåò îáðàòèòü âíè-
ìàíèå íà ôîðìóëû (85)).




                                         25

Страницы