Расчет электрических и магнитных цепей. Ч.2. Бандурин И.И. - 4 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

4
Так как корни характеристического уравнения получились комплексными. Выражение
для свободной составляющей тока i
2
запишем в виде:
i
2
св(t)=e
-δt
(A
1
sin t
ω
+ A
2
cos t
ω
) A;
i
2
(t)=i
2
св(t)+i
2
пр(t)=0,3sin(ωt+89,7
o
)+ e
-δt
(A
1
sin t
ω
+ A
2
cos tω
) A;
=
dt
)t(di
2
0,3ωcos(ωt+89,7
o
)-δe
-δt
(A
1
sin
t
ω
+ A
2
cos
t
ω
)+
ω
e
-δt
(A
1
cos
tω
-A
2
sin
tω
)A;
Для определения постоянных интегрирования, нужно знать начальные условия:
i
2
(0) и
0
2
)(
=t
dt
tdi
Определим независимые начальные условия. Для этого рассчитаем установившийся
режим до коммутации.
Z
1
= r =42,3 Ом; Y
2
=b
L
= -j3 мСм; Y
3
=b
C
= j24 мСм; Y
23
=Y
2
+Y
3
= j21 мСм; Z
23
= =
23
Y
1
-j48 Ом;
Z=Z
1
+Z
23
=42,3-j48 Ом; U
&
=E
&
=200e
-120
o
В;
1
I
&
= =
Z
U
&
1-j2,95 А;U
&
23
=
1
I
&
*Y
23
= -142,5-j48,5 B;
2
I
&
=
23
U
&
* Y
2
= -0,14+j0,42 A;
=
C
U
&
23
U
&
В;
i
2
(0)= Im(
2
I
&
)= 0,4 A; u
C
(0)= Im(
C
U
&
)= -48,5 В;
Запишем систему уравнений (1) для момента времени t=0:
i
1
(0)= i
2
(0)+ i
3
(0); r
1
i
1
(0)+u
C
(0)=e(0); u
C
(0) =
0t
2
dt
di
L
=
;(r
1
=2r)
Отсюда находим:
==
=
L
)0(u
dt
di
C
0t
2
-48540,9 А/с;
Подставляя начальные условия i
2
(0) и
0t
2
dt
)t(di
=
в выражения для искомой величины i
2
и ее производной
dt
di
2
при t=0, получим систему алгебраических уравнений относительно
постоянных интегрирования из которых найдем A
1
и A
2
:
A
2
= i
2
(0)- i
2
пр(0)=0,4-0,3sin89,7
o
=0,13
A
1
=
ω
δ+ω
=
2
o
0t
2
A7,89cos0,3
dt
)t(di
= -0,45
Итак, имеем: i
2
(t)= 0,3sin(ωt+89,7
o
)+e
-δt
(-0,45sin t
ω
+ 0,13cos tω
)=
=0,3 sin(ωt+89,7
o
)-0,468e
-δt
sin( t
ω
-16,1
o
) A;
Токи i
1
и i
3
найдем из уравнений (1).
=
=
r
2
dt
di
L)t(e
i
2
1
-2,06sin(ωt+89,7
o
)-0,7e
-δt
sin( t
ω
-57,1
o
) A;
i
3
=i
1
-i
2
= -2,36cosωt-1,01e
-δt
sin( tω
-40,8
o
) A;
    Так как корни характеристического уравнения получились комплексными. Выражение
для свободной составляющей тока i2 запишем в виде:
                                      i2св(t)=e-δt(A1sin ω′t + A2cos ω′t ) A;
                                                            o
                   i2(t)=i2св(t)+i2пр(t)=0,3sin(ωt+89,7 )+ e-δt(A1sin ω′t + A2cos ω′t ) A;
      di 2 ( t )                       o
                 = 0,3ωcos(ωt+89,7 )-δe-δt(A1sin ω′t + A2cos ω′t )+ ω′ e-δt(A1cos ω′t -A2sin ω′t )A;
        dt
      Для определения постоянных интегрирования, нужно знать начальные условия:
                                                         di (t )
                                                 i2(0) и 2
                                                           dt t =0
    Определим независимые начальные условия. Для этого рассчитаем установившийся
режим до коммутации.
                                                                                              1
Z1= r =42,3 Ом; Y2=bL= -j3 мСм; Y3=bC= j24 мСм; Y23=Y2+Y3= j21 мСм; Z23=                          = -j48 Ом;
                                                                                             Y23
                                                          &
                                & = E& =200e-120 В; &I = U = 1-j2,95 А; U
                                                 o
Z=Z1+Z23=42,3-j48 Ом; U                                                    & 23= &I *Y23= -142,5-j48,5 B;
                                                       1                           1
                                                          Z
                                  &I = U& * Y2= -0,14+j0,42 A; U   & =U   & В;
                                    2    23                         C       23
                                            &                       &
                              i2(0)= Im( I )= 0,4 A; uC(0)= Im( U )= -48,5 В;
                                        2                                 C

    Запишем систему уравнений (1) для момента времени t=0:
                                                                 di
               i1(0)= i2(0)+ i3(0); r1i1(0)+uC(0)=e(0); uC(0) = L 2                      ;(r1=2r)
                                                                 dt               t =0
    Отсюда находим:
                                di 2       u (0)
                                         = C     = -48540,9 А/с;
                                 dt t =0     L
                                                  di 2 ( t )
    Подставляя начальные условия i2(0) и                              в выражения для искомой величины i2
                                                    dt         t =0

                       di 2
и ее производной            при t=0, получим систему алгебраических уравнений относительно
                       dt
постоянных интегрирования из которых найдем A1 и A2:
                                          o
   A2= i2(0)- i2пр(0)=0,4-0,3sin89,7 =0,13
         di 2 ( t )
                     − 0,3ω cos 89,7 o + δA 2
            dt t =0
   A1=                                        = -0,45
                            ω′
                                                      o
                 Итак, имеем: i2(t)= 0,3sin(ωt+89,7 )+e-δt(-0,45sin ω′t + 0,13cos ω′t )=
                                               o                        o
                              =0,3 sin(ωt+89,7 )-0,468e-δtsin( ω′t -16,1 ) A;
   Токи i1 и i3 найдем из уравнений (1).
                    di
         e( t ) − L 2
    i1 =            dt = -2,06sin(ωt+89,7o)-0,7e-δt sin( ω′t -57,1o) A;
                 2r
                                                 o
    i3=i1-i2= -2,36cosωt-1,01e-δtsin( ω′t -40,8 ) A;




                                                      4