Рубрика:
1. Метрические пространства.
1. Доказать, что для любых четырех точек x,y,z,t метрического
пространства (X,
ρ
) справедливы неравенства:
1) |
ρ
(x,z)-
ρ
(y,z)|
≤
ρ
(x,y);
2) |
ρ
(x,z)-
ρ
(y,t)|
≤
ρ
(x,y)+
ρ
(z,t).
2. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны
следующим двум аксиомам:
1)
ρ
(x,y)=0
⇔
x=y;
2)
ρ
(x,y)
≤
ρ
(x,z)+
ρ
(y,z).
3. Пусть
ρ
(x,y) – метрика на множестве X. Доказать, что функции
ρ
1
(x,y)=
ρ
(x,y)/(1+
ρ
(x,y)),
ρ
2
(x,y)=min{
ρ
(x,y), 1} являются
метриками на X.
4. Доказать, что следующие множества с заданными на них
метриками являются полными метрическими пространствами.
1) Множество l
p
, p
≥
1, числовых последовательностей x=(x
1
,x
2
,…),
удовлетворяющих условию
∑
∞
k=1
|x
k
|
p
<
∞
, с метрикой
ρ
(x,y)=(
∑
∞
k=1
|x
k
-y
k
|
p
)
1/p
;
2) множество l
∞
всех ограниченных числовых последовательностей
x=(x
1
,x
2
,…) с метрикой
ρ
(x,y)=sup
k
| x
k
-y
k
|;
3) множество l
0
∞
всех числовых последовательностей x=(x
1
,x
2
,…),
стремящихся к нулю, с метрикой
ρ
(x,y)=max
k
| x
k
-y
k
|;
4)
множество s всех числовых последовательностей x=(x
1
,x
2
,…) с
метрикой
ρ
(x,y)=
∑
k=1
∞
2
-k
| x
k
-y
k
|/(1+| x
k
-y
k
|);
5)
множество C[a,b] всех непрерывных функций на отрезке [a,b] с
метрикой
ρ
(x,y)=max
t
∈
[a,b]
|x(t)-y(t)|;
6)
множество C
m
[a,b] всех функций на отрезке [a,b], имеющих
непрерывные производные до порядка m включительно, с
метрикой
ρ
(x,y)=
∑
k=0
m
max
t
∈
[a,b]
|x
(k)
(t)-y
(k)
(t)|;
7)
множество CB[a,b] всех ограниченных непрерывных функций на
интервале (a,b) с метрикой
ρ
(x,y)=sup
t
∈
(a,b)
|x(t)-y(t)|;
8) множество B[a,b] всех ограниченных функций на интервале (a,b)
с метрикой
ρ
(x,y)=sup
t
∈
(a,b)
|x(t)-y(t)|;
9)множество L
2
(a,b) функций x(t), удовлетворяющих условию
∫
a
b
|x(t)|
2
dt<
∞
, с метрикой
ρ
(x,y)= (
∫
a
b
|x(t)-y(t)|
2
dt)
1/2
;
1. Метрические пространства.
1. Доказать, что для любых четырех точек x,y,z,t метрического
пространства (X,ρ) справедливы неравенства:
1) |ρ(x,z)- ρ(y,z)|≤ ρ(x,y);
2) |ρ(x,z)- ρ(y,t)|≤ ρ(x,y)+ρ(z,t).
2. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны
следующим двум аксиомам:
1) ρ(x,y)=0⇔x=y;
2) ρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ ρ(y,z).
3. Пусть ρ(x,y) – метрика на множестве X. Доказать, что функции
ρ1(x,y)= ρ(x,y)/(1+ρ(x,y)), ρ2(x,y)=min{ρ(x,y), 1} являются
метриками на X.
4. Доказать, что следующие множества с заданными на них
метриками являются полными метрическими пространствами.
1) Множество lp, p≥1, числовых последовательностей x=(x1,x2,…),
∞
удовлетворяющих условию ∑ k=1|xk| <∞, с метрикой
p
ρ(x,y)=( ∑∞k=1|xk-yk|p)1/p;
2) множество l∞ всех ограниченных числовых последовательностей
x=(x1,x2,…) с метрикой ρ(x,y)=supk| xk-yk|;
3)множество l0∞ всех числовых последовательностей x=(x1,x2,…),
стремящихся к нулю, с метрикой ρ(x,y)=maxk| xk-yk|;
4)множество s всех числовых последовательностей x=(x1,x2,…) с
∞ -k
метрикой ρ(x,y)=∑k=1 2 | xk-yk|/(1+| xk-yk|);
5)множество C[a,b] всех непрерывных функций на отрезке [a,b] с
метрикой ρ(x,y)=maxt∈[a,b]|x(t)-y(t)|;
6)множество Cm[a,b] всех функций на отрезке [a,b], имеющих
непрерывные производные до порядка m включительно, с
метрикой ρ(x,y)=∑k=0 maxt∈[a,b]|x (t)-y (t)|;
m (k) (k)
7)множество CB[a,b] всех ограниченных непрерывных функций на
интервале (a,b) с метрикой ρ(x,y)=supt∈(a,b)|x(t)-y(t)|;
8) множество B[a,b] всех ограниченных функций на интервале (a,b)
с метрикой ρ(x,y)=supt∈(a,b)|x(t)-y(t)|;
9)множество L2(a,b) функций x(t), удовлетворяющих условию
∫ab|x(t)|2dt<∞, с метрикой ρ(x,y)= (∫a |x(t)-y(t)| dt) ;
b 2 1/2
