Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 18 стр.

UptoLike

Рубрика: 

14. Пусть оператор
nnn
RRRF
×
: определяется формулами
{
}
2121121
,,:),( xAxxAxxxF
n
ТТ
K=
, где
(
)
k
ijk
aA = , размера nn
×
,
=
kn
k
k
x
x
x
L
1
. Показать, что он билинейный и ограниченный.
15. Пусть
]1,0[
2
]1,0[
2
2
:sin:)( CCx
d
t
xd
xF +=
. Показать, что в точке
ttx =)(
0
первый дифференциал )()(cos)(]),([
2
2
0
thtth
d
t
d
hxFd +=
, а
второй дифференциал
)()(sin]),([
2
0
2
ththxFd = .
14.   Пусть   оператор           F : R n × R n → R n определяется формулами
              {                         }               ( )
F ( x1 , x 2 ) := x1Т A1 x 2 , K , x1Т An x 2 , где Ak = aijk , размера n × n ,
      ⎛ x k1 ⎞
      ⎜      ⎟
x k = ⎜ L ⎟ . Показать, что он билинейный и ограниченный.
      ⎜x ⎟
      ⎝ kn ⎠
                      d 2x
15. Пусть F ( x) :=
                           2
                               + sin x : C[20,1] → C[0,1] . Показать, что в точке
                      dt
                                                        d2
x0 (t ) = t первый дифференциал d [ F ( x0 ), h] =        2
                                                              h(t ) + (cos t )h(t ) , а
                                                   dt
                     2                           2
второй дифференциал d [ F ( x0 ), h] = −(sin t )h (t ) .