Рубрика:
9. Доказать, что если
∑
∞
=
=
0
)(
!
)0(
)(
k
k
k
z
k
f
zf – целая функция
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∞→
0
!
)0(
lim
)(
k
k
k
k
f
, то матричный ряд
∑
∞
=0
)(
!
)0(
k
k
k
A
k
f
сходится
абсолютно в банаховом пространстве
nn
M
×
.
10. Вычислить производную Фреше следующих отображений:
а)
RRF →
3
1
: ,
3
3
2
21321
),,( xxxxxxF ++= в точке )1,1,1( .
б)
3
2
: RRF → , },cos,{sin)(
t
t
t
t
F
π
π
= в точке 1
=
t
.
в)
32
3
: RRF → ,
{
}
111
,cos,sin),(
2221
xxx
exexexxF
ππ
= в точке )1,1( .
г)
23
4
: RRF → ,
{
}
321
2
3
2
2
2
1321
,4),,( xxxxxxxxxF ++−= в точке
)1,1,1( .
11. Вычислить производную Фреше сложного отображения:
а)
RRFF →:
21
o в точке 1
=
t
.
б)
33
12
: RRFF →o
в точке )1,1,1(
=
t
.
в)
22
34
: RRFF →o
в точке )1,1( .
г)
33
43
: RRFF →o в точке )1,1,1( .
12. Найти производную оператора в точке
0
u
а)
],0[],0[
:sin)(
ππ
CCuuF →= , xxu cos)(
0
=
.
б)
],0[],0[
:cos)(
ππ
CCuuF →= , xxu sin)(
0
=
.
в)
]1,0[]1,0[
:)( CCeuuF
ux
→+=
, 0)(
0
≡
xu .
г)
]1,0[]1,0[
2
:)()( CCushuxuF →+= , 0)(
0
≡
xu .
д) функционала
∫
′
Φ=
1
0
))(),(,()( dttxtxtx
ϕ
на пространстве
1
]1,0[
C
непрерывно дифференцируемых на
]1,0[ , обращающихся в ноль в точках
0=
t
,
1=
t
.
13. Вычислить градиент нормы
),( ⋅⋅=⋅ на элементе
0
x в гильбертовом
пространстве.
∞ f ( k ) (0) k
9. Доказать, что если f ( z) = ∑ z – целая функция
k =0 k !
⎛ f ( k ) ( 0) ⎞
⎜ k ⎟ ∞ f ( k ) (0) k
⎜ lim = 0 ⎟ , то матричный ряд ∑ A сходится
⎜ k → ∞ k! ⎟ k =0 k!
⎝ ⎠
абсолютно в банаховом пространстве M n×n .
10. Вычислить производную Фреше следующих отображений:
3 2 3
а) F1 : R → R , F ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + x 2 + x3 в точке (1,1,1) .
3
б) F2 : R → R , F (t ) = {sin πt , cos πt , t} в точке t = 1.
2 3
в) F3 : R → R , F ( x1 , x 2 ) = e { x sin πx2 , e x cos πx2 , e x } в точке (1,1) .
1 1 1
3 2
г) F4 : R → R , F ( x1 , x 2 , x3 ) = { 4− x 2
1 }
+ x 22 + x32 , x1 x 2 x3 в точке
(1,1,1) .
11. Вычислить производную Фреше сложного отображения:
а) F1 o F2 : R → R в точке t = 1.
3 3
б) F2 o F1 : R → R в точке t = (1,1,1) .
2 2
в) F4 o F3 : R → R в точке (1,1) .
3 3
г) F3 o F4 : R → R в точке (1,1,1) .
12. Найти производную оператора в точке u 0
а) F (u ) = sin u : C[ 0,π ] → C[ 0,π ] , u 0 ( x) = cos x .
б) F (u ) = cos u : C[ 0,π ] → C[ 0,π ] , u 0 ( x) = sin x .
ux
в) F (u ) = u + e : C[0,1] → C[0,1] , u 0 ( x) ≡ 0 .
2
г) F (u ) = x u + sh(u ) : C[ 0,1] → C[ 0,1] , u 0 ( x) ≡ 0 .
1
д) функционала ϕ ( x) = ∫ Φ (t , x(t ), x ′(t ))dt на пространстве C[10,1]
0
непрерывно дифференцируемых на [0,1] , обращающихся в ноль в точках
t = 0 , t = 1.
13. Вычислить градиент нормы ⋅ = (⋅,⋅) на элементе x0 в гильбертовом
пространстве.
