Рубрика:
г)
)cos(
2
2
)(
x
x
ex
α
ϕ
−
= ;
д)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
<<−−
<<
=
ax
xa
ax
x
i
i
2,0
02,
20,
)(
4
4
ϕ
е)
x
x
x
sin
)( =
ϕ
ж)
x
bxax
x
sinsin
)( =
ϕ
, (
∈
ba, R);
з)
22
)(
α
ϕ
+
=
x
x
x
, (
∈
α
R);
5.
Найти полную вариацию функции
а)
1)(
−
= xx
ϕ
, ]2,2[
−
∈
x
;
б)
][)(
x
x
=
ϕ
, ∈
x
[0,5; 3,5];
в)
x
x
2cos)( =
ϕ
, ]2,0[
π
∈
x
;
6.
Вычислить интеграл Стилтьеса
а)
∫
π
2
0
2
sin xdx ; б)
∫
−
3
1
)(xxd
ϕ
,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤−
<<−
−
=
=
32,1
21,1
1,0
)(
x
x
x
x
ϕ
7. Найти норму функционала
а)
∫
1
0
2cos)( xdxxf
π
в пространстве
]1,0[
C .
б)
∫
−
3
1
)()( xdxf
ϕ
в
]0,1[−
C , функция )(
x
ϕ
та же, что и в примере 6.б.
6. Проверить аксиомы нормированного пространства для пространства
матриц
nm
M
×
размера nm × :
а)
ij
ji
aA
,
1
max=
, б)
∑
=
≤
=
n
j
ij
mi
aA
1
2
max , в)
∑∑
==
=
m
i
n
j
ij
aA
11
2
.
7. Доказать, что пространство
nm
M
×
банахово в нормах предыдущего
примера.
8. Доказать, что
nn
MBA
×
∈∀ ,
BAAB
⋅
≤
(Использовать
неравенство Минковского).
x2
− cos(αx )
г) ϕ ( x) = e 2 ;
⎧ 4i , 0 < x < 2a
⎪
д) ϕ ( x) = ⎨− 4i , − 2a < x < 0
⎪ 0, x ≥ 2a
⎩
sin x
е) ϕ ( x) =
x
sin ax sin bx
ж) ϕ ( x) = , ( a, b ∈ R);
x
x
з) ϕ ( x) = , (α ∈R);
2 2
x +α
5. Найти полную вариацию функции
а) ϕ ( x) = x − 1 , x ∈ [−2,2] ;
б) ϕ ( x ) = [ x ] , x ∈[0,5; 3,5];
в) ϕ ( x) = cos 2 x , x ∈ [0,2π ] ;
6. Вычислить интеграл Стилтьеса
2π 3 ⎧ 0, x = −1
2 ⎪
а) ∫ x d sin x ; б) ∫ xdϕ (x) , ϕ ( x) = ⎨1, −1 < x < 2
0 −1 ⎪− 1, 2≤ x≤3
⎩
7. Найти норму функционала
1
а) ∫ f ( x) cos 2πxdx в пространстве C[ 0,1] .
0
3
б) ∫ f ( x)dϕ ( x) в C[ −1,0] , функция ϕ (x) та же, что и в примере 6.б.
−1
6. Проверить аксиомы нормированного пространства для пространства
матриц M m×n размера m × n :
n m n 2
а) A 1 = max aij , б) A 2 = max ∑ aij , в) A = ∑ ∑ aij .
i, j i ≤ m j =1 i =1 j =1
7. Доказать, что пространство M m×n банахово в нормах предыдущего
примера.
8. Доказать, что ∀A, B ∈ M n×n AB ≤ A ⋅ B (Использовать
неравенство Минковского).
