Рубрика:
и x
n
→θ
в метрике C
p
[0;1].
7.
x
n
(t)=e
t-n
в C[0;1], C
m
[0;1] (m
∈
N),C
p
[0;1] (p
≥
1).
Решение.
Поточечно
x
n
(t)
→θ
(t)=e
−
∞
=0. В C[0;1]
ρ
(x
n
,
θ
)=max
0
≤
t
≤
1
|x
n
(t)-
θ
(t)|=max
0
≤
t
≤
1
(e
t
/e
n
)=e/e
n
,
lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)=0, поэтому x
n
→θ
в C[0;1].
Все производные
x
n
/
(t)=x
n
//
(t)=…= x
n
(m)
(t)=e
t-n
равномерно стремятся к
θ
, поэтому x
n
→θ
в C
m
[0;1].
Из равномерной сходимости следует и сходимость
x
n
→θ
по метрике
C
p
[0;1].
Разные задачи.
1)
Доказать, что
L
x
xy
1
],0[
1
2
2
1
1
ln ∈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
и не принадлежит
L
p
],0[
2
1
,
1>p .
2)
При каких ∈
β
α
, R
L
p
x
arctgx
y
),(
2
)1(
)(
∞−∞
∈
+
=
α
β
?
3)
Пусть
{
}
n
t – числовая последовательность
L,,,,,,,,
16
1
8
7
8
5
8
3
8
1
4
3
4
1
2
1
Показать, что последовательность функций
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥−
<−−−
=
n
tx
n
txtx
n
xf
n
nn
n
4
,0
4
,
4
1
)(
сходится к функции
0)(
=
x
f
в
2
)1,0(
L
, но не сходится )1,0(∈∀
x
.
4.
Найти преобразование Фурье функций
а)
m
x
x
)(
1
)(
λ
ϕ
−
= ,
∈
m N,
∈
λ
С, 0Im
≠
z .
б)
x
ex
α
ϕ
−
=)( , ( 0>
α
);
в)
x
xex
α
ϕ
−
=)( , ( 0>
α
) ;
и xn→θ в метрике Cp[0;1].
в C[0;1], C [0;1] (m∈N),Cp[0;1] (p≥1).
t-n m
7. xn(t)=e
Решение.
−∞
Поточечно xn(t)→θ(t)=e =0. В C[0;1]
ρ(xn,θ)=max0≤ t≤ 1|xn(t)-θ(t)|=max0≤ t≤ 1(et/en)=e/en,
limn→∞ρ(xn,θ)=0, поэтому xn→θ в C[0;1].
/ // (m) t-n
Все производные xn (t)=xn (t)=…= xn (t)=e
равномерно стремятся к θ, поэтому xn→θ в C [0;1].
m
Из равномерной сходимости следует и сходимость xn→θ по метрике
Cp[0;1].
Разные задачи.
−1
⎛ 2 1⎞
1) Доказать, что y = ⎜ x ln ⎟ ∈ L1 и не принадлежит p
L[0, 1 ] ,
⎝ x⎠ [ 0, 12 ] 2
p > 1.
(arctgx) β
2) При каких α , β ∈ R y= 2 α
∈ L(p−∞,∞ ) ?
(1 + x )
3) Пусть {t n } – числовая последовательность
1 , 1 , 3 , 1 , 3 , 5 , 7 , 1 ,L
2 4 4 8 8 8 8 16
Показать, что последовательность функций
⎧ n 4
⎪1 − x − t n , x − t n <
f n ( x) = ⎨ 4 n
4
⎪0, x − tn ≥
⎩ n
2
сходится к функции f ( x) = 0 в L( 0,1) , но не сходится ∀x ∈ (0,1) .
4. Найти преобразование Фурье функций
1
а) ϕ ( x) = m
, m ∈N, λ ∈С, Im z ≠ 0 .
(x − λ)
б) ϕ ( x) = e −α x , (α > 0 );
в) ϕ ( x) = xe −α x , (α > 0 ) ;
