Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

3.
x
n
(t)=te
-nt
, 0
≤
t
≤
1, в C[0;1], C
p
[0;1], C
1
[0;1], (p
≥
1).
Решение.
При
t=0 x
n
(0)=0, при 0<t
≤
1 , lim
n
→∞
x
n
(t)= e
−
∞
=0.
Таким образом, поточечно x
n
(t)
→θ
(t)
≡
0. В равномерной метрике
пространства
C[0;1]
ρ
(x
n
,
θ
)=max
0
≤
t
≤
1
x
n
(t).
Найдём максимум с помощью производной:
x
n
/
(t)=e
-nt
-nte
-nt
=(1-nt)/e
nt
, x
n
/
(t)=0 при t=1/n,
при
0
≤
t<1/n x
n
/
(t)>0, при 1/n<t
≤
1 x
n
/
(t)>0
⇒
⇒
max
0
≤
t
≤
1
x
n
(t)=x
n
(1/n)=1/(en).
Тогда
lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)=lim
n
→∞
(1/(en))=0, и x
n
→θ
в C[0;1].
Из равномерной сходимости следует сходимость
x
n
→θ
в C
p
[0;1].
В пространстве
C
1
[0;1]
ρ
(x
n
,
θ
)=max
0
≤
t
≤
1
| x
n
(t)-
θ
(t)|+max
0
≤
t
≤
1
| x
n
/
(t)-
θ
/
(t)|
≥
≥
max
0
≤
t
≤
1
| x
n
/
(t)|
≥
| x
n
/
(0)|=1.
Поэтому lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
) не может быть равен 0.
Согласно
указанию 2, x
n
не является сходящейся в C
1
[0;1].
4.
x
n
(t)=∑
k=0
n
t
k
/k! , a
≤
t
≤
b, в C[a;b], C
1
[a;b], C
2
[a;b].
Решение.
Используя ряд Маклорена
e
t
=∑
k=0
∞
t
k
/k! (-
∞
<t<+
∞
), мы получаем
поточечный предел:
x
n
(t)
→
y(t)=e
t
∀
t
∈
[a;b]. Поскольку степенные
ряды сходятся равномерно на замкнутых отрезках внутри интервала
сходимости, то
x
n
равномерно сходится к y, т.е. x
n
→
y в C[a;b].
Производные
x
n
/
(t)=∑
k=1
n
t
k-1
/(k-1)!=∑
k=0
n-1
t
k
/k!
равномерно сходятся к e
t
=y
/
(t),
x
n
//
(t)=∑
k=1
n-1
t
k-1
/(k-1)!=∑
k=0
n-2
t
k
/k! равномерно сходятся к
e
t
=y
//
(t), следовательно, x
n
→
y в C
1
[a;b] и в C
2
[a;b].
Вообще,
x
n
→
y в любом пространстве C
m
[a;b] (m
∈
N).
5.
x
n
(t)=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤
<
−≤≤−−
1/1,1
/1||,
/11,1
tn
ntnt
nt
в PC[-1;1], PC
p
[-1;1] (p
≥
1).
Решение. 
3. xn(t)=te     , 0≤ t≤ 1, в C[0;1], Cp[0;1], C1[0;1], (p≥1).
              -nt


Решение.
                                                     −∞
При t=0 xn(0)=0, при 00, при 1/n0 ⇒
                    /                       /

⇒ max0≤ t≤ 1xn(t)=xn(1/n)=1/(en).
Тогда limn→∞ρ(xn,θ)=limn→∞(1/(en))=0, и xn→θ в C[0;1].
Из равномерной сходимости следует сходимость xn→θ в Cp[0;1].
                      1
В пространстве C [0;1]
ρ(xn,θ)=max0≤ t≤ 1| xn(t)-θ(t)|+max0≤ t≤ 1| xn/(t)-θ /(t)|≥
≥ max0≤ t≤ 1| xn/(t)|≥ | xn/(0)|=1.
Поэтому limn→∞ρ(xn,θ) не может быть равен 0.
                                                              1
Согласно указанию 2, xn не является сходящейся в C [0;1].

4. xn(t)=∑k=0 t /k! , a≤ t≤ b, в C[a;b], C [a;b], C [a;b].
                    n k                          1        2


Решение.
                                       ∞ k
Используя ряд Маклорена e =∑k=0 t /k! (-∞

Страницы