Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Указание 2. Если существует поточечный предел и предел по
метрике, то они совпадают.
1.
x
n
(t)=e
-nt
, 0
≤
t
≤
1, в C[0;1], C
p
[0;1], PC[0;1], PC
p
[0;1]
(p
≥
1).
Решение.
Найдём поточечный предел:
при
t=0 x
n
(0)=1, lim
n
→∞
x
n
(0)=1;
при 0<t
≤
1 , lim
n
→∞
x
n
(t)= e
−
∞
=0.
Итак, поточечно x
n
(t)
→
y(t)=
⎩
⎨
⎧
≤<
=
10,0
0,1
t
t
.
Ясно, что
y
∈
PC[0;1], поэтому последовательность x
n
не является
сходящейся в
C[0;1] и в C
p
[0;1]. В пространстве PC[0;1]
ρ
(x
n
,y)=sup
0
≤
t
≤
1
|x
n
(t)-y(t)|=sup
0<t
≤
1
e
-nt
=1, lim
n
→∞
ρ
(x
n
,y)=1
≠
0,
поэтому x
n
не может сходиться к y в PC[0;1] (нет равномерной
сходимости), а тогда, согласно
указанию 2, x
n
вообще не может
сходиться в
PC[0;1]. В PC[0;1]
ρ
(x
n
,y)=(
∫
1
0
|x
n
(t)-y(t)|
p
dt)
1/p
=(
∫
1
0
e
-npt
dt)
1/p
=
=(-1/(np) e
-npt
0
1
=
=
t
t
)
1/p
=(1-e
-np
)/(np),
lim
n
→∞
ρ
(x
n
,y)=(1-0)/(+
∞
)=0,
следовательно, x
n
→
y по метрике пространства PC
p
[0;1].
2.
x
n
(t)=e
-nt
, 1
≤
t
≤
2, в C[1;2], C
p
[1;2], PC[1;2], PC
p
[1;2]
(p
≥
1).
Решение.
Для всякого
t
∈
[1;2] lim
n
→∞
x
n
(t)= e
−
∞
=0, т.е. поточечно
x
n
(t)
→θ
(t)
≡
0. В пространстве C[1;2]
ρ
(x
n
,
θ
)=max
1
≤
t
≤
2
e
-nt
=e
-n
, lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)= e
−
∞
=0,
поэтому x
n
→θ
по метрике C[1;2] (имеет место равномерная
сходимость
x
n
к
θ
). Из равномерной сходимости следует сходимость
x
n
→θ
и по метрике C
p
[1;2]. Поскольку C[1;2] и C
p
[1;2] являются
метрическими подпространствами
PC[1;2] и PC
p
[1;2]
соответственно, то и в более широких пространствах PC[1;2] и
PC
p
[1;2] x
n
→θ
. 
Указание 2. Если существует поточечный предел и предел по
метрике, то они совпадают.

1. xn(t)=e
                -nt
                      , 0≤ t≤ 1, в C[0;1], Cp[0;1], PC[0;1], PCp[0;1]
(p≥1).

Решение.
Найдём поточечный предел:
при t=0 xn(0)=1, limn→∞xn(0)=1;
                            −∞
при 0

Страницы