Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Замечание. Если последовательность x
n
сходится в m, то ее
пределом может быть только
y (см. указание 1).
Оценим метрику
ρ
(x
n
,y):
ρ
(x
n
,y)= sup
k
|x
n,k
-1/2|= sup
k
k/(2(k+2n))
≥
n/(2(n+2n))=1/6.
Поскольку
ρ
(x
n
,y)
≥
1/6, то lim
n
→∞
ρ
(x
n
,y)
≠
0. Вывод: y не является
пределом
x
n
, и, согласно замечанию, последовательность x
n
не
является сходящейся в
m.
7. Проверить сходимость последовательности x
n
в пространствах
l
p
(p
≥
1) и m, если x
n,k
=1/(2n+k).
Решение.
Числовой ряд
∑
k=1
∞
|x
n,k
|
p
=∑
k=1
∞
1/(2n+k)
p
∼∑
k=1
∞
1/k
p
сходится при
p>1 и расходится при p=1 (нет смысла говорить о сходимости в
l
1
последовательности x
n
∉
l
1
). Таким образом, x
n
∈ l
p
⊂ m (p>1).
Покоординатным пределом x
n
является
θ
={0,0,0,0,…}. Вычислим
метрику
ρ
(x
n
,
θ
) в l
p
(p>1):
ρ
(x
n
,
θ
)=(∑
k=1
∞
|x
n,k
|
p
)
1/p
=(∑
k=1
∞
1/(2n+k)
p
)
1/p
.
Обозначив
m =2n+k, получаем
ρ
(x
n
,
θ
)=(∑
m=2n+1
∞
1/m
p
)
1/p
.
Величина
∑
m=2n+1
∞
1/m
p
является остатком сходящегося ряда
∑
m=1
∞
1/m
p
и поэтому стремится к 0, когда n
→∞
. А тогда
lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)=0, что означает сходимость x
n
к
θ
в l
p
(p>1). Из
сходимости в
l
p
(p>1) следует, что и в m x
n
→
θ
.
8. Проверить сходимость последовательности
x
n
в пространстве
m, если x
n,k
=1/n+1/k.
Решение.
Так как,
0<x
n,k
<2, то x
n
∈
m. Пределы координат:
y
k
=lim
n
→∞
x
n,k
=1/k.
Так как
0<y
k
<1, то покоординатный предел
y={1/,1/2,1/3,1/4,…}
∈
m. По метрике пространства m
ρ
(x
n
,y)= sup
k
|x
n,k
-y
k
|= sup
k
1/n=1/n
→
0 при n
→∞
. Таким образом,
x
n
→
y в m.
9. Проверить сходимость последовательности
x
n
в пространстве
m, если x
n,k
=n/(n
2
+k).
Решение. 
Замечание. Если последовательность xn сходится в m, то ее
пределом может быть только y (см. указание 1).
Оценим метрику ρ(xn,y):
ρ(xn,y)= supk|xn,k-1/2|= supk k/(2(k+2n))≥ n/(2(n+2n))=1/6.
Поскольку ρ(xn,y) ≥ 1/6, то limn→∞ρ(xn,y)≠0. Вывод: y не является
пределом xn, и, согласно замечанию, последовательность xn не
является сходящейся в m.

7. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах
lp(p≥1) и m, если xn,k=1/(2n+k).

Решение.
                   ∞    p     ∞        p      ∞  p
Числовой ряд ∑k=1 |xn,k| =∑k=1 1/(2n+k) ∼∑k=1 1/k сходится при
p>1 и расходится при p=1 (нет смысла говорить о сходимости в
l1последовательности xn ∉l1). Таким образом, xn ∈ lp⊂ m (p>1).
Покоординатным пределом xn является θ={0,0,0,0,…}. Вычислим
метрику ρ(xn, θ) в l (p>1):
                    p

ρ(xn, θ)=(∑k=1∞|xn,k|p)1/p=(∑k=1∞1/(2n+k)p)1/p.
                                                ∞
Обозначив m =2n+k, получаем ρ(xn,θ)=(∑m=2n+1 1/m ) .
                                                  p 1/p
                  ∞    p
Величина ∑m=2n+1 1/m является остатком сходящегося ряда
∑m=1∞1/mp и поэтому стремится к 0, когда n→∞. А тогда
limn→∞ρ(xn, θ)=0, что означает сходимость xn к θ в lp (p>1). Из
сходимости в l (p>1) следует, что и в m xn→ θ.
              p



8. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве
m, если xn,k=1/n+1/k.

Решение.
Так   как,    0

Страницы