Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 9 стр.

покоординатный предел θ={0,0,0,0,…}∈l . Если p>1, то ряд
                                           p

∑k=1∞1/kpсходится, и тогда в пространстве lp
limn→∞ρ(xn,θ)=limn→∞(∑k=1∞1/|nk|p)1/p=
=limn→∞(∑k=1∞1/(npkp))1/p= limn→∞1/n(∑k=1∞1/(kp))1/p=0,
поэтому xn→θ в l (p>1). Поскольку сходимость в любом l
                   p                                         p

сильнее, чем в m, то и в пространстве m имеет место сходимость
xn→θ.

4. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах
lp(p≥1) и m, если xn,k=1/(k(nk)1/2).

Решение.
                    ∞            ∞    1/2 3/2
Числовой ряд ∑k=1 |xn,k| =∑k=1 1/(n k ) сходится, поскольку
1,5>1, следовательно, все xn∈ l ⊂ l ⊂ m. У последовательности xn,
                               1   p

очевидно, существует покоординатный предел θ={0,0,0,0,…}, и в
              1
пространстве l
limn→∞ρ(xn,θ)= limn→∞∑k=1∞|xn,k|= limn→∞1/n1/2∑k=1∞1/k3/2=0.
Таким образом, xn→θ в l . Сходимость в l сильнее, чем в остальных
                        1               1

lp(p>1) и в m, поэтому xn→θ во всех пространствах m и lp(p≥1).

5. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве
m, если xn,k=(k+n)/(3+k+n).

Решение.
Поскольку ∀k,n(∈Ν) 0< xn,k<1, то все xn∈m. При любом
фиксированном k limn→∞xn,k= limn→∞(k/n+1)/((3+k)/n+1)=1,
Поэтому у последовательности существует покоординатный предел
e={1,1,1,1,…}. В пространстве m
limn→∞ρ(xn,e)=limn→∞supk|xn,k|=limn→∞supk|(k+n)/(3+k+n)-1|=
limn→∞supk3/(3+k+n)= limn→∞3/(4+n)=0.
Итак, xn→θ по метрике пространства m.

6. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве
m, если xn,k=(n)/(k+2n).

Решение.
Так как 0< xn,k<1/2, то все xn∈m. Найдем покоординатный предел:
y={1/2,1/2,1/2,1/2,…}∈m.