Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

11) Ax(t)=x(t
2
);
12) Ax(t)=x(s
1/2
).
3. Гильбертовы пространства.
1. Проверить, что следующие пространства являются гильбертовыми:
1) l
2
со скалярным произведением (x,y)=
∑
k=1
∞
x
k
⎯
y
k
, где
x={x
1
,x
2
,…}, y={y
1
,y
2
,…};
2) L
2
(0,1) со скалярным произведением (x,y)=
∫
0
1
x(s)
⎯
y(s)ds.
Для указанных пространств доказать теорему Пифагора: если (x,y)=0
и z=x+y, то
||z||
2
=||x||
2
+||y||
2
.
2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих
классах функций из L
2
(0,1), будут линейными; непрерывными?
1) f[x(t)]=
∫
0
1
x(t)sintdt;
2) f[x(t)]=
∫
0
1
x(t)sign(t-1/2)dt;
3) f[x(t)]=x(1/2);
4) f[x(t)]=
∫
0
1/2
x(t
2
)t
1/2
dt;
5) f[x(t)]=
∫
0
1
x(t)t
-1/3
dt;
6) f[x(t)]=
∫
0
1
x(t
2
)dt;
7) f[x(t)]=
∫
0
1
|x(t)|dt;
8) f[x(t)]=
∫
0
1
x
2
(t)dt;
9) f[x(t)]=x
′
(t
0
);
10) f[x(t)]=sup
t
|x(t)|.
3. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих
классах элементов из l
2
, будут линейными; непрерывными?
1) f(x)=
∑
k=1
∞
x
k
sink;
2) f(x)= x
k
;
3) f(x)=
∑
k=1
∞
x
k
sign(k-n);
4) f(x)=
∑
k=1
∞
x
k
2
k
1/2
;
5) f(x)=
∑
k=1
∞
x
k
k
-1/2
;
6) f(x)=
∑
k=1
∞
x
k
2
;
7) f(x)= x
k
-x
k-1
;
8) f(x)=
∑
k=1
∞
|x
k
|;
9) f(x)=sup
k
|x
k
|;
10) f(x)=
∑
k=1
∞
|x
k
|
2
.
4. Примеры. 
     11) Ax(t)=x(t2);
     12) Ax(t)=x(s1/2).

     3. Гильбертовы пространства.
1. Проверить, что следующие пространства являются гильбертовыми:
     1) l2 со скалярным произведением (x,y)=∑k=1∞xk⎯yk, где
        x={x1,x2,…}, y={y1,y2,…};
     2) L2(0,1) со скалярным произведением (x,y)=∫0 x(s)⎯y(s)ds.
                                                  1

     Для указанных пространств доказать теорему Пифагора: если (x,y)=0
                      2      2      2
     и z=x+y, то ||z|| =||x|| +||y|| .

2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих
   классах функций из L2(0,1), будут линейными; непрерывными?
     1) f[x(t)]=∫01x(t)sintdt;
     2) f[x(t)]=∫01x(t)sign(t-1/2)dt;
     3) f[x(t)]=x(1/2);
     4) f[x(t)]=∫01/2x(t2)t1/2dt;
     5) f[x(t)]=∫01x(t)t-1/3dt;
     6) f[x(t)]=∫01x(t2)dt;
     7) f[x(t)]=∫01|x(t)|dt;
     8) f[x(t)]=∫01x2(t)dt;
     9) f[x(t)]=x′(t0);
     10) f[x(t)]=supt|x(t)|.

3. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих
   классах элементов из l2, будут линейными; непрерывными?
     1) f(x)=∑k=1∞xksink;
     2) f(x)= xk;
     3) f(x)=∑k=1∞xksign(k-n);
     4) f(x)=∑k=1∞xk2k1/2;
     5) f(x)=∑k=1∞xkk-1/2;
     6) f(x)=∑k=1∞xk2;
     7) f(x)= xk-xk-1;
     8) f(x)=∑k=1∞|xk|;
     9) f(x)=supk|xk|;
     10) f(x)=∑k=1∞|xk| 2.

4. Примеры.

Страницы