Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

3) l
∞
, ||x||=sup
k
|x
k
|;
4) c, ||x||=sup
k
|x
k
|;
5) l
0
∞
, ||x||=sup
k
|x
k
|;
6) L
p
(a,b), ||x||=
(∫
a
b
|x(t)|
p
dt
)
1/p
;
7) C[a,b], ||x||=sup
a
≤
t
≤
b
|x(t)|;
8) L
∞
(a,b), ||x||=esssup
a
≤
t
≤
b
|x(t)|;
9) B(R), ||x||=sup
t
∈
R
|x(t)|;
10) C
l
[a,b], ||x||=
∑
k=0
l
max
a
≤
t
≤
b
|x
(k)
(t)|.
2. При каких p,q справедливо вложение
l
p
⊂
l
q
?
3. Доказать, что C[a,b] не полно по норме ||x||=
∫
a
b
|x(t)|dt.
4. Доказать утверждения:
1) конечномерное пространство полно;
2) конечномерное подпространство нормированного пространства
замкнуто.
5. Проверить, сеперабельны ли пространства:
1) l
p
, 1
≤
p<
∞
;
2) l
0
∞
;
3) l
∞
;
4) L
p
, 1
≤
p<
∞
;
5) L
∞
;
6) R
n
;
7) C[a,b];
8) C
l
[a,b].
2. Линейные операторы и функционалы в нормированных
пространствах.
1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0,1]?
1) F(x)=
∫
0
1
x(t)sintdt;
2) F(x)=x(1/2);
3) F(x)=
∫
0
1
x(t)sign(t-1/2)dt;
4) F(x)=
∫
0
1
x(t
2
)t
1/2
dt;
5) F(x)=
∫
0
1
x(t)t
-1/3
dt;
6) F(x)=
∫
0
1
x(t
2
)dt;
7) F(x)=x
′
(t
0
); 
3) l∞, ||x||=supk|xk|;
4) c, ||x||=supk|xk|;
5) l0∞, ||x||=supk|xk|;
6) Lp(a,b), ||x||=(∫ab|x(t)|pdt)1/p;
7) C[a,b], ||x||=supa≤t≤b|x(t)|;
8) L∞(a,b), ||x||=esssupa≤t≤b|x(t)|;
9) B(R), ||x||=supt∈R|x(t)|;
10) Cl[a,b], ||x||=∑k=0 lmaxa≤t≤b|x(k)(t)|.

2. При каких p,q справедливо вложение l
                                         p
                                             ⊂lq?

3. Доказать, что C[a,b] не полно по норме ||x||=∫ab|x(t)|dt.

4. Доказать утверждения:
1) конечномерное пространство полно;
2) конечномерное подпространство нормированного пространства
   замкнуто.

5. Проверить, сеперабельны ли пространства:
1) lp, 1≤p<∞;
2) l0∞;
3) l∞;
4) Lp, 1≤p<∞;
5) L∞;
6) Rn;
7) C[a,b];
8) Cl[a,b].

2. Линейные операторы и функционалы в нормированных
   пространствах.

1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0,1]?
1) F(x)=∫01x(t)sintdt;
2) F(x)=x(1/2);
3) F(x)=∫01x(t)sign(t-1/2)dt;
4) F(x)= ∫01x(t2)t1/2dt;
5) F(x)= ∫01x(t)t-1/3dt;
6) F(x)= ∫01x(t2)dt;
7) F(x)=x′(t0);

Страницы