Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

8) F(x)=max
0
≤
t
≤
1
x(t);
9) F(x)=
∫
0
1
|x(t)|dt;
10) F(x)=
∫
0
1
x
2
(t)dt.
Какие из этих функционалов непрерывны в C[0,1]? Вычислить их
нормы.
Какие из этих функционалов непрерывны в L
2
(0,1)? Вычислить их
нормы.
2. Какие из следующих операторов являются непрерывными?
1) A: R
n
→R
n
определен формулой y
i
=
∑
n
k=1
a
ik
τ
k
, i=1,…,n;
2)
A: C[0,1]
→
C[0,1] определен формулой Ax(t)=
∫
0
t
x(
τ
)d
τ
;
3) d/dt: C
1
[0,1]
→
C[0,1];
4) d/dt: C[0,1]
→
C[0,1] определен на множестве непрерывно
дифференцируемых функций из C[0,1];
5) A: C[0,1]
→
C[0,1] определен формулой Ax(t)=
∫
0
1
K(t,
τ
)x(
τ
)d
τ
, где
K(t,
τ
) непрерывна на квадрате [0,1]
×
[0,1];
6) A: L
2
(0,1)
→
L
2
(0,1) определен формулой Ax(t)=
∫
0
1
K(t,
τ
)x(
τ
)d
τ
,
где
K(t,
τ
)
∈
L
2
((0,1)
×
(0,1)).
3. Доказать следующие утверждения:
1) любой линейный оператор A: R
n
→R
m
компактен;
2) любой линейный оператор A: E
1
→E
2
компактен, если E
1
–
конечномерное пространство;
3) любой ограниченный линейный оператор A: E
1
→E
2
компактен,
если E
2
– конечномерное пространство;
4) линейный ограниченный оператор, образ которого лежит в
конечномерном пространстве, компактен.
4. Являются ли компактными следующие операторы в пространстве
C[0,1]? В пространстве L
2
(0,1)?
1) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)ds;
2) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)|t-s|
-1
ds;
3) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)(t-s)
-1
ds;
4) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)|t-s|
-
α
ds;
5) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)tg(|t-s|
-1/2
)ds;
6) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)tg(
π
/2(t-s))ds;
7) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)|sint-sins|
-1/2
ds;
8) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)(s-1/2)
-1
ds;
9) Ax(t)=
∫
0
1
x(s)(ts+t
2
s
2
)ds;
10) Ax(t)=
∫
0
1
x(s
2
)ds; 
8) F(x)=max0≤t≤1x(t);
9) F(x)= ∫01|x(t)|dt;
10) F(x)= ∫01x2(t)dt.
Какие из этих функционалов непрерывны в C[0,1]? Вычислить их
нормы.
Какие из этих функционалов непрерывны в L2(0,1)? Вычислить их
нормы.

2. Какие из следующих операторов являются непрерывными?
1) A: Rn→Rn определен формулой yi=∑nk=1aikτk, i=1,…,n;
2) A: C[0,1]→C[0,1] определен формулой Ax(t)=∫0tx(τ)dτ;
3) d/dt: C1[0,1]→C[0,1];
4) d/dt: C[0,1]→C[0,1] определен на множестве непрерывно
   дифференцируемых функций из C[0,1];
5) A: C[0,1]→C[0,1] определен формулой Ax(t)=∫0 K(t,τ)x(τ)dτ, где
                                               1

   K(t,τ) непрерывна на квадрате [0,1]×[0,1];
6) A: L2(0,1)→L2(0,1) определен формулой Ax(t)=∫0 K(t,τ)x(τ)dτ,
                                                 1

   где K(t,τ)∈L ((0,1)×(0,1)).
                 2


3. Доказать следующие утверждения:
1) любой линейный оператор A: Rn→Rm компактен;
2) любой линейный оператор A: E1→E2 компактен, если E1 –
   конечномерное пространство;
3) любой ограниченный линейный оператор A: E1→E2 компактен,
   если E2 – конечномерное пространство;
4) линейный ограниченный оператор, образ которого лежит в
   конечномерном пространстве, компактен.

4. Являются ли компактными следующие операторы в пространстве
   C[0,1]? В пространстве L2(0,1)?
1) Ax(t)=∫01x(s)ds;
2) Ax(t)=∫01x(s)|t-s|-1ds;
3) Ax(t)=∫01x(s)(t-s)-1ds;
4) Ax(t)=∫01x(s)|t-s|-αds;
5) Ax(t)=∫01x(s)tg(|t-s|-1/2)ds;
6) Ax(t)=∫01x(s)tg(π/2(t-s))ds;
7) Ax(t)=∫01x(s)|sint-sins|-1/2ds;
8) Ax(t)=∫01x(s)(s-1/2)-1ds;
9) Ax(t)=∫01x(s)(ts+t2s2)ds;
10) Ax(t)=∫01x(s2)ds;

Страницы