Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

10)множество H
1
[a,b] функций, удовлетворяющих на отрезке [a,b]
условию Липшица
|x(t
1
)-x(t
2
)|
≤
C|t
1
-t
2
|, с метрикой
ρ
(x,y)=
max
t
∈
[a,b]
|x(t)-y(t)|+sup
a
≤
t1
≤
t2
≤
b
|x(t
1
)-y(t
1
)-x(t
2
)+y(t
2
)|/|t
1
-t
2
|.
11) множество m ограниченных числовых последовательностей
x=(x
1
,x
2
,…) с метрикой
ρ
(x,y)=sup
i
|x
i
-y
i
|.
12) множество c сходящихся числовых последовательностей
x=(x
1
,x
2
,…), где lim
i
→∞
x
i
=a, с метрикой
ρ
(x,y)=sup
i
|x
i
-y
i
|.
5. Являются ли следующие множества с заданными на них
метриками полными метрическими пространствами:
1) множество целых чисел с метрикой
ρ
(m,n)=|e
im
-e
in
|;
2) множество натуральных чисел с метрикой
ρ
(m,n)=1+1/(m+n),
если
m
≠
n,
ρ
(m,n)=0, если m=n;
3) множество L
p
(a,b) (p
≥
1) функций x(t), удовлетворяющих условию
∫
a
b
|x(t)|
p
dt<
∞
, с метрикой
ρ
(x,y)= (
∫
a
b
|x(t)-y(t)|
p
dt)
1/p
;
4)
множество C
1
[0,1] с метрикой
ρ
(x,y)=
∫
0
1
|x(t)-y(t)|dt;
5)
множество C
p
[0,1] (p
≥
1) с метрикой
ρ
(x,y)= (
∫
0
1
|x(t)-y(t)|
p
dt)
1/p
;
6)
множество финитных числовых последовательностей с метрикой
ρ
(x,y)=max
k
|x
k
-y
k
|?
6. Будут ли указанные ниже множества метрическими
пространствами:
1) множество всех действительных чисел с метрикой
ρ
(x,y)=sin
2
(x-y);
2) множество всех действительных чисел с метрикой
ρ
(x,y)=|arctgx-arctgy|;
3) множество точек плоскости (x,y) с метрикой
ρ
(x,y)= | x
2
-
x
1
|+| y
2
-y
1
|;
4) множество всех прямых на плоскости l: x
⋅
cos
α
+y
⋅
sin
α
-p=0
с метрикой
ρ
(l
1
,l
2
)=| p
1
-p
2
|+| sin
α
1
- sin
α
2
|?
2. Нормированные пространства.
1. Показать, что пространства нормированы относительно
указанных норм. Показать полноту каждого пространства.
1) R
n
, ||x||=
(∑
n
k=1
|x
k
|
2
)
1/2
;
2) l
p
, ||x||=
(∑
n
k=1
|x
k
|
p
)
1/p
, (1
≤
p<
∞
); 
10)множество H1[a,b] функций, удовлетворяющих на отрезке [a,b]
условию Липшица |x(t1)-x(t2)|≤C|t1-t2|, с метрикой ρ(x,y)=
maxt∈[a,b]|x(t)-y(t)|+supa≤t1≤t2≤b|x(t1)-y(t1)-x(t2)+y(t2)|/|t1-t2|.
11) множество m ограниченных числовых последовательностей
x=(x1,x2,…) с метрикой ρ(x,y)=supi|xi-yi|.
12) множество c сходящихся числовых последовательностей
x=(x1,x2,…), где limi→∞xi=a, с метрикой ρ(x,y)=supi|xi-yi|.

5. Являются ли следующие множества с заданными на них
метриками полными метрическими пространствами:

1) множество целых чисел с метрикой ρ(m,n)=|eim-ein|;
2) множество натуральных чисел с метрикой ρ(m,n)=1+1/(m+n),
        если m≠n, ρ(m,n)=0, если m=n;
3) множество Lp(a,b) (p≥1) функций x(t), удовлетворяющих условию
   ∫ab|x(t)|pdt<∞, с метрикой ρ(x,y)= (∫a |x(t)-y(t)| dt) ;
                                         b           p   1/p

4) множество C1[0,1] с метрикой ρ(x,y)=∫01|x(t)-y(t)|dt;
5) множество Cp[0,1] (p≥1) с метрикой ρ(x,y)= (∫01|x(t)-y(t)|pdt)1/p;
6) множество финитных числовых последовательностей с метрикой
        ρ(x,y)=maxk|xk-yk|?

6. Будут   ли    указанные ниже  множества метрическими
   пространствами:
1)     множество всех действительных чисел с метрикой
       ρ(x,y)=sin2(x-y);
2)     множество       всехдействительных чисел с метрикой
       ρ(x,y)=|arctgx-arctgy|;
3)     множество точек плоскости (x,y) с метрикой ρ(x,y)= | x2-
       x1|+| y2-y1|;
4)     множество всех прямых на плоскости l: x⋅cosα+y⋅sinα-p=0
       с метрикой ρ(l1,l2)=| p1-p2|+| sinα1- sinα2|?



2. Нормированные пространства.

1. Показать, что пространства нормированы относительно
   указанных норм. Показать полноту каждого пространства.
1) Rn, ||x||=(∑nk=1|xk|2)1/2;
2) lp, ||x||=(∑nk=1|xk|p)1/p, (1≤p<∞);

Страницы