Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 8 стр.

Проверить сходимость последовательности xn в метрических
пространствах s, l (p≥1) или m.
                  p

Указание 1. Если существует предел xn по метрике, то он равен
покоординатному пределу.

1. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах
s и m, если xn,k=1 при k=n и xn,k=0 при k≠n.

Решение.
x1={1,0,0,0,…},
x2={0,1,0,0,…},
x3={0,0,1,0,…},…
Покоординатный предел существует и равен θ={0,0,0,0,…}.
Поскольку покоординатная сходимость равносильна сходимости по
метрике s, то xn→θ в s.
Однако в пространстве m limn→∞ρ(xn,θ)= limn→∞1=1≠0, поэтому θ
не является пределом xn по метрике пространства m. А тогда у xn
Вообще не может быть предела в m, то есть последовательность
xn не является сходящейся в m.

2. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах
s и m, если xn,k=(k+n)/n.

Решение.
Предел по каждой координате равен limn→∞ xn,k= limn→∞(k+n)/n=
limn→∞(k/n+1)=1, поэтому в s имеет место сходимость
xn→e={1,1,1,1,…}. О сходимости в m говорить не имеет смысла
вообще,   поскольку   xn∉m. Действительно, при любом
фиксированном n limk→∞(k+n)/n=∞, поэтому supk| xn,k |=∞.

3. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах
lp(p≥1) и m, если xn,k=1/(nk).

Решение.
                             ∞       p      ∞    p p
Рассмотрим числовой ряд ∑k=1 | xn,k | =∑k=1 1/(n k ). При любом
фиксированном n этот ряд сходится для p>1 (и тогда xn∈ l ) и
                                                            p

расходится для p=1 (тогда xn∉ l , говорить о сходимости не имеет
                               p

смысла).
Поскольку для всякого фиксированного k мы имеем limn→∞ xn,k=
limn→∞1/(nk)=0, то у последовательности xn существует