Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Так как, 0<x
n,k
<n/n
2
=1, то x
n
∈
m. Поскольку lim
n
→∞
x
n,k
=
lim
n
→∞
(1/n)/(1+k/n
2
)=0, то у x
n
существует покоординатный
предел
θ
={0,0,0,0,…}
∈
m. Оценим метрику
ρ
(x
n
,
θ
):
0
≤ρ
(x
n
,
θ
)=sup
k
n/(n
2
+k)=n/(n
2
+1)<1/n. Так как 1/n
→
0 при
n
→∞
, то и lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)=0, то есть x
n
→
θ
в m.
10. Проверить сходимость последовательности
x
n
в пространстве
l
1
, если x
n,k
=n/(nk
2
+1).
Решение.
Числовой ряд
∑
k=1
∞
|x
n,k
|=∑
k=1
∞
1/(k
2
+1/n)∼∑
k=1
∞
1/k
2
сходится (т.к.
показатель степени 2>1), т.е.
x
n
∈
l
1
. Пределы координат:
y
k
=lim
n
→∞
x
n,k
= lim
n
→∞
1/(k
2
+1/n)=1/k
2
,
а это значит, что у x
n
есть покоординатный предел:
y={1/,1/4,1/9,…}. При этом y
∈
l
1
. Оценим метрику
ρ
(x
n
,y) в
пространстве
l
1
:
0
≤ρ
(x
n
,y)=∑
k=1
∞
|x
n,k
-y
k
|=∑
k=1
∞
|n/(nk
2
+1)-1/k
2
|=
=∑
k=1
∞
1/((nk
2
+1) k
2
)<∑
k=1
∞
1/(nk
2
)=1/n∑
k=1
∞
1/k
2
.
Тогда lim
n
→∞
ρ
(x
n
,y)=0, т.е. x
n
→
y по метрике l
1
.
11. Проверить сходимость последовательности
x
n
в пространстве
m,
если x
n,k
=n sin(1/(nk)).
Решение.
Т.к. при
x>0 sin x<x, то 0<x
n,k
<n
⋅
1/(nk)
≤
1. Поэтому x
n
∈
m.
Вычислим пределы координат по первому замечательному пределу:
y
k
=lim
n
→∞
x
n,k
= lim
n
→∞
(1/k
⋅
sin(1/(nk))/ (1/(nk)))=1/k.
Т.к. 0<1/k
≤
1, то покоординатный предел y={1,1/2,1/3,…}
∈
m.
В пространстве
m
ρ
(x
n
,y)=sup
k
|x
n,k
-y
k
|= sup
k
|n sin(1/(nk)) - 1/k|=
= sup
k
n|sin(1/(nk)) - 1/(nk)|=n sup
k
(1/(nk)-sin(1/(nk))).
Поскольку (x-sin x)
/
=1-cos x
≥
0, то функция x-sin x монотонно
возрастающая. Следовательно,
ρ
(x
n
,y)=n(1/n-sin(1/n))=1 - n sin(1/n)=1 - (sin(1/n))/(1/n)
→
0
при
n
→∞
, т.е. x
n
→
y в m.
Проверить сходимость последовательностей
x
n
=x
n
(t) в
функциональных метрических пространствах. В случаях сходимости
найти пределы.
Так как, 01), т.е. xn∈l1. Пределы координат:
 yk=limn→∞xn,k= limn→∞1/(k2+1/n)=1/k2,
а это значит, что у xn есть покоординатный предел:
y={1/,1/4,1/9,…}. При этом y∈l1. Оценим метрику ρ(xn,y) в
              1
пространстве l :
0≤ρ(xn,y)=∑k=1∞|xn,k-yk|=∑k=1∞|n/(nk2+1)-1/k2|=
=∑k=1∞ 1/((nk2+1) k2)<∑k=1∞ 1/(nk2)=1/n∑k=1∞ 1/k2.
Тогда limn→∞ρ(xn,y)=0, т.е. xn→ y по метрике l .
                                              1



11. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве
m, если xn,k=n sin(1/(nk)).

Решение.
Т.к. при x>0 sin x

Страницы