Задачи и упражнения по функциональному анализу. Баранов И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДГТУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Поточечно x
n
(t)
→
y(t)=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤<
=
<≤−−
10,1
0,0
01,1
t
t
t
и y
∈
PC[-1;1].
В пространстве
PC[-1;1]
ρ
(x
n
,y)=sup
−
1
≤
t
≤
1
|x
n
(t)-y(t)|=sup
0<t<1/n
|nt-1|=1,
поэтому сходимость
x
n
к y невозможна, и, согласно указанию 2, x
n
не является сходящейся в
PC[-1;1].
В
PC
p
[-1;1]
ρ
(x
n
,y)=(
∫
−
1
1
|x
n
(t)-y(t)|
p
dt)
1/p
=(2
∫
n/1
0
|nt-1|
p
dt)
1/p
=
=(2
∫
n/1
0
(1-nt)
p
dt)
1/p
=(-2/n
⋅
(1-nt)
p+1
/(p+1)
0
/1
=
=
t
nt
)
1/p
=2/(n(p+1)),
lim
n
→∞
ρ
(x
n
,y)=0,
следовательно, x
n
→
y по метрике PC
p
[-1;1].
6.
x
n
(t)=1/(1+(nt-
n
)
2
) в C[0;1], C
p
[0;1].
Решение.
Поточечный предел
x
n
(t)
→θ
(t)
≡
0. В C[0;1]
ρ
(x
n
,
θ
)=max
0
≤
t
≤
1
x
n
(t).
Найдём максимум с помощью производной
x
n
/
(t)= -2n(nt-
n
)/(1+( nt-
n
)
2
)=-2n
2
(t-1/
n
)/(1+( nt-
n
)
2
)
2
,
x
n
/
(t)=0 при t=1/
n
,
при 0
≤
t<1/
n
x
n
/
(t)>0, при 1/
n
<t
≤
1 x
n
/
(t)<0,
поэтому max
0
≤
t
≤
1
x
n
(t)=x
n
(1/
n
)=1/(1+0)=1.
Итак, lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)=1
≠
0, равномерной сходимости x
n
к
θ
нет. По
указанию 2, x
n
не является сходящейся в C[0;1].
В
C
p
[0;1]
ρ
(x
n
,
θ
)=(
∫
1
0
|x
n
(t)-
θ
(t)|
p
dt)
1/p
=(
∫
1
0
(x
n
(t))
p
dt)
1/p
.
Поскольку
0<x
n
(t)
≤
1 и p
≥
1, то (x
n
(t))
p
≤
x
n
(t), поэтому
ρ
(x
n
,
θ
)
≤
(
∫
1
0
(x
n
(t))dt)
1/p
=(1/n
∫
1
0
d(nt-
n
)/(1+( nt-
n
)
2
))
1/p
=
=(1/n
⋅
arctg(nt-
n
)
0
1
=
=
t
t
)
1/p
=1/n
1/p
(arctg(n-
n
)+arctg(
n
)).
Так как величина арктангенс ограниченная, то lim
n
→∞
ρ
(x
n
,
θ
)=0, 
                                  ⎧− 1,−1 ≤ t < 0
                                  ⎪
Поточечно xn(t)→y(t)=             ⎨ 0, t = 0      и y∈PC[-1;1].
                                  ⎪ 1,0 < t ≤ 1
                                  ⎩
В пространстве PC[-1;1]
ρ(xn,y)=sup−1≤ t≤ 1|xn(t)-y(t)|=sup00, при 1/ n

Страницы