ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексными числами называются выражения вида
zxiy
=+
, где
x
и
y
- действительные числа, а
i
- мнимая единица (символ, определяемый
равенством:
2
1
i
=−
).
Действительные числа
x
и
y
называются соответственно действительной и
мнимой частью комплексного числа
z
. Для их обозначений используются
выражения:
Re;Im
xzyz
==
. Запись комплексного числа в виде
zxiy
=+
называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа
111
zxiy
=+
и
222
zxiy
=+
равны тогда и только
тогда , когда равны их действительные и мнимые части , т.е.
12
xx
=
и
12
yy
=
.
Число
000
i
=+⋅
называется нулем. Число
110
i
=+⋅
называется единицей .
Числа вида
0
ziy
=+⋅
называются чисто мнимыми. Число
zxiy
=−⋅
называется
сопряженным для числа
zxiy
=+⋅
.
Для комплексных чисел , записанных в алгебраической форме, определены
арифметические операции:
1) Сложение. Если
111
zxiy
=+
и
222
zxiy
=+
, то
(
)
(
)
121212
zzxxiyy
+=+++
.
2) Вычитание. Если
111
zxiy
=+
и
222
zxiy
=+
, то
(
)
(
)
121212
zzxxiyy
−=−+−
.
3) Умножение. Если
111
zxiy
=+
и
222
zxiy
=+
, то
(
)
(
)
1212121221
zzxxyyixyxy
⋅=−++
.
Таким образом, комплексные числа в алгебраической форме
перемножаются как двучлены , причем
2
i
заменяется на –1.
4) Деление. Если
111
zxiy
=+
и
222
zxiy
=+
, то
112122112
2222
22222
zxxyyxyxy
i
zxyxy
+−
=+
++
.
Для нахождения частного двух комплексных чисел ,
записанных в алгебраической форме, нужно делимое и
делитель умножить на число сопряженное с делителем.
Геометрически каждое комплексное
число
zxiy
=+
определяет на
координатной плоскости точку
(,)
Mxy
.
Ось абсцисс в этом случае называется
действительной осью , а ось ординат –
мнимой осью .
Полярные координаты точки
M
,
изображающей число
z
называются
модулем и аргументом комплексного числа
z
. Для них вводятся обозначения:
y
(,)Mxy
ρ
ϕ
x
0
2
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Комплексными числами называются выражения вида z =x +iy , где x и
y - действительные числа, а i - мнимая единица (символ, определяемый
равенством: i 2 =−1 ).
Действительные числа x и y называются соответственно действительной и
мнимой частью комплексного числа z . Для их обозначений используются
выражения: x =Re z ; y =Im z . Запись комплексного числа в виде z =x +iy
называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 равны тогда и только
тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. x1 =x2 и y1 = y2 .
Число 0 =0 +0 ⋅ i называется нулем. Число 1 =1 +0 ⋅ i называется единицей.
Числа вида z =0 +i ⋅ y называются чисто мнимыми. Число z =x −i ⋅ y называется
сопряженным для числа z =x +i ⋅ y .
Для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, определены
арифметические операции:
1) Сложение. Если z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 , то
z1 +z2 =( x1 +x2 ) +i ( y1 + y2 ) .
2) Вычитание. Если z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 , то
z1 −z2 =( x1 −x2 ) +i ( y1 −y2 ) .
3) Умножение. Если z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 , то
z1 ⋅ z2 =( x1 x2 − y1 y2 ) +i ( x1 y2 +x2 y1 ) .
Таким образом, комплексные числа в алгебраической форме
перемножаются как двучлены, причем i 2 заменяется на –1.
4) Деление. Если z1 =x1 +iy1 и z2 =x2 +iy2 , то
z1 x1 x2 + y1 y2 x y −x y
= 2 +i 2 21 12 2 .
z2 x2 + y2 2
x2 + y2
Для нахождения частного двух комплексных чисел,
записанных в алгебраической форме, нужно делимое и
делитель умножить на число сопряженное с делителем.
y Геометрически каждое комплексное
число z =x +iy определяет на
координатной плоскости точку M ( x, y ) .
M ( x, y ) Ось абсцисс в этом случае называется
действительной осью, а ось ординат –
мнимой осью.
ρ
ϕ x
Полярные координаты точки M ,
изображающей число z называются
0 модулем и аргументом комплексного числа
z . Для них вводятся обозначения:
