Аналитическая геометрия. Комплексные числа. Баркова Л.Н. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4
(3)(42)26
.
(42)(23)54
ixiyi
ixiyi
−++=+
+−+=+
Решим систему по правилу Крамера. Найдем
2
342
(3)(23)(42)(97)(1216)
42(23)
2123,
2642
(26)(23)(42)(54)
54(23)
(1418)(126)244,
326
(3)(54)(42)(26)(197)(428
4254
x
y
ii
iiiii
ii
i
ii
iiii
ii
iii
ii
iiiii
ii
−+
∆==−−+−+=−−−+=
+−+
=−−
++
∆==−++−++=
+−+
=−−+=−
−+
∆==−+−++=+−−+
++
2321.
i
i
=
=−
Таким образом,
2442(122)(2123)2(485485)970970
1,
2123(2123)(2123)970970
2321(2321)(2123)0970
.
2123(2123)(2123)970
x
y
iiiii
xi
iii
iiii
yi
iii
∆
−−−−−+
===−=−==+
∆−−+−
∆
−−−−
===−=−=
∆−−+−
Значит, решением системы будет пара комплексных чисел
1,
xiyi
=+=
.
Пример 3. Найти комплексное число
1
z
, удовлетворяющее уравнению
()(12)(1)(34)17
iziizii
−++−−=+
и записать его в алгебраической и
тригонометрической формах.
Раскрывая скобки в левой части и приводя подобные члены , получим
(55)10
izi
−−=
, откуда
2
1022(1)22
1.
5(1)1(1)(1)11
iiiiii
zi
iiii
−−+
==−=−==−−
−+++−+
1
zi
=−−
- это найденное число в алгебраической форме.
Найдем
3
2;argctg1
4
zzar
π
ρϕ=====− , тогда тригонометрическая
форма числа
z
будет иметь вид:
33
2cossin
44
zi
ππ


=−+−




.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных
чисел : 
                                             4

      � (3 −i ) x +(4 +2i ) y =2 +6i
       �                                 .
         � (4 +2i ) x −(2 +3i ) y =5 +4i
     Решим систему по правилу Крамера. Найдем
              3 −i     4 +2i
     ∆=                         =−(3 −i )(2 +3i ) −(4 +2i )2 =(−9 −7i ) −(12 +16i ) =
             4 +2i −(2 +3i )
       =−21 −23i ,
            2 +6i  4 +2i
     ∆x =                   =−(2 +6i )(2 +3i ) −(4 +2i )(5 +4i ) =
            5 +4i −(2 +3i )
       =(14 −18i ) −(12 +6i ) =2 −44i,
             3 −i 2 +6i
     ∆y =               =(3 −i )(5 +4i ) −(4 +2i )(2 +6i ) =(19 +7i ) −(−4 +28i ) =
            4 +2i 5 +4i
      =23 −21i .
    Таким образом,
    ∆     2 −44i     2(1 −22i )(21 −23i )   2(−485 −485i ) 970 +970i
  x= x =          =−                      =−              =          =1 +i ,
     ∆ −21 −23i      (21 +23i )(21 −23i )        970          970
     ∆y   23 −21i    (23 −21i )(21 −23i )   0 −970i
  y= =            =−                      =−        =i .
     ∆ −21 −23i      (21 +23i )(21 −23i )     970
    Значит, решением системы будет пара комплексных чисел x =1 +i , y =i .

       Пример 3. Найти комплексное число z1 , удовлетворяющее уравнению
(i −z )(1 +2i ) +(1 −iz )(3 −4i ) =1 +7i и записать его в алгебраической и
тригонометрической формах.
       Раскрывая скобки в левой части и приводя подобные члены, получим
( −5 −5i ) z =10i , откуда
          10i         2i      2i (1 −i )         −2i +2i 2
     z=           =−      =−                   =           =−1 −i .
        −5(1 +i )    1 +i   (1 +i )(1 −i )         1 +1
     z =−1 −i - это найденное число в алгебраической форме.
                                                        3π
     Найдем z =ρ = 2 ; ϕ =arg z =ar ctg1 =−                 , тогда тригонометрическая
                                                         4
                                           �       � 3π �       � 3π� �
форма числа z будет иметь вид: z = 2 � cos � − � +i sin� −� � .
                                             �      �  4 �       �  4� �

                      Задания для самостоятельного решения

      1.         Найти действительную и мнимую части следующих комплексных
                 чисел:

Страницы