ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
22
;arg
zxyz
ρϕ==+=
.
При этом для фиксированного числа
0
z
≠
аргумент определяется не
однозначно: если
ϕ
- некоторый аргумент числа
z
, то углы вида
2
k
ϕπ
+
, где
0,1,2,...
k
=±±
также являются аргументами этого же числа.
Если
arg
z
ϕ
=
, то
2222
cos,sin
xy
xyxy
ϕϕ==
++
и tg
y
x
ϕ
=
.
Выражая значения
x
и
y
через значения
ϕ
и
ϕ
, получим
cos;sin
xy
ρϕρϕ
==
. В этом случае комплексное число можно записать в
виде:
(
)
cossin
zi
ρϕϕ
=+
. Такая форма записи комплексного числа называется
тригонометрической.
Операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической
форме выглядят таким образом:
1
0
. Умножение. Если
(
)
1111
cossinzi
ρϕϕ
=+
и
(
)
2222
cossinzi
ρϕϕ
=+
, то
(
)
(
)
(
)
12121212
cossinzzi
ρρϕϕϕϕ
⋅=⋅+++, т.е. для умножения чисел в
тригонометрической форме необходимо перемножить их модули и сложить
аргументы .
2
0
. Деление. Если
(
)
1111
cossinzi
ρϕϕ
=+
и
(
)
2222
cossinzi
ρϕϕ
=+
, то
()()
()
11
1212
22
cossin
z
i
z
ρ
ϕϕϕϕ
ρ
=−+−
, т.е. для деления чисел в
тригонометрической форме необходимо разделить модули и вычесть аргументы .
Комплексные числа в тригонометрической форме удобно возводить в
любую натуральную степень
n
по формуле:
(
)
cossin
nn
znin
ρϕϕ
=+ , где
(
)
cossin
zi
ρϕϕ
=+
.
Корень
n
-ой степени из комплексного числа
(
)
cossin
zi
ρϕϕ
=+
имеет
n
различных значений, которые находятся по формуле:
22
cossin
n
k
kk
zi
nn
ϕπϕπ
ρ
++
=+
, где
0,1,...,1,
knnN
=−∈
.
Пример 1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа
2
5
2
21
i
z
i
+
=
+
.
Заметим сначала, что
(
)
2
542
iiiiii
=⋅=⋅=
. Таким образом,
()()
()()
()
2
2
22
21243
243924924
211212525252524
iii
iii
zi
iii
+⋅−−
+−−
======−
++⋅−
.
Значит,
924
Re;Im
2525
zz
==−
.
Пример 2. Решить систему уравнений
3
ρ = z = x 2 + y 2 ; ϕ =arg z .
При этом для фиксированного числа z ≠0 аргумент определяется не
однозначно: если ϕ - некоторый аргумент числа z , то углы вида ϕ +2π k , где
k =0, ±1, ±2,... также являются аргументами этого же числа.
x y y
Если ϕ =arg z , то cos ϕ = , sin ϕ = и tg ϕ = .
x2 +y 2 x2 +y 2 x
Выражая значения x и y через значения ϕ и ϕ , получим
x =ρ cos ϕ ; y =ρ sin ϕ . В этом случае комплексное число можно записать в
виде: z =ρ (cos ϕ +i sin ϕ ) . Такая форма записи комплексного числа называется
тригонометрической.
Операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической
форме выглядят таким образом:
10. Умножение. Если z1 =ρ1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) и z2 =ρ2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) , то
z1 ⋅ z2 =ρ1 ⋅ ρ2 (cos (ϕ1 +ϕ2 ) +i sin (ϕ1 +ϕ2 )) , т.е. для умножения чисел в
тригонометрической форме необходимо перемножить их модули и сложить
аргументы.
20. Деление. Если z1 =ρ1 (cos ϕ1 +i sin ϕ1 ) и z2 =ρ2 (cos ϕ2 +i sin ϕ2 ) , то
z1 ρ1
= (cos (ϕ1 −ϕ2 ) +i sin (ϕ1 −ϕ2 )) , т.е. для деления чисел в
z2 ρ2
тригонометрической форме необходимо разделить модули и вычесть аргументы.
Комплексные числа в тригонометрической форме удобно возводить в
любую натуральную степень n по формуле:
z n =ρ n (cos nϕ +i sin nϕ ) , где z =ρ (cos ϕ +i sin ϕ ) .
Корень n -ой степени из комплексного числа z =ρ (cos ϕ +i sin ϕ ) имеет n
различных значений, которые находятся по формуле:
� ϕ +2π k ϕ +2π k �
zk =n ρ � cos +i sin � , где k =0, 1, ..., n −1 , n ∈N .
� n n �
Пример 1. Найти действительную и мнимую части комплексного числа
2
� i 5 +2�
z =� � .
� 2i +1�
Заметим сначала, что i 5 =i ⋅ i 4 =i ⋅ (i 2 ) =i . Таким образом,
2
� (i +2 ) ⋅ (1 −2i )� (4 −3i )
2 2 2 2
� i +2� � 4 −3� i 9 −24i 9 24
z =� �=� � =� � = = = − i.
� 2i +�1 � (1 +2i ) ⋅ (1 −2i� ) � 5 � 25 25 25 24
9 24
Значит, Re z = ; Im z =− .
25 25
Пример 2. Решить систему уравнений
