Математическая статистика. Баркова Л.Н - 12 стр.

UptoLike

12
квантили
(
)
2
2
1
n
α
χ
и
(
)
2
1
2
1
n
α
χ
. В данном случае
1
αγ
= 1-0,96 = 0,04 и
распределение имеет девять степеней свободы . Следовательно ,
(
)
2
0,02
9
χ
=2,09;
(
)
2
0,98
9
χ
= 21,07.
Для границ доверительного интервала получаем
(
)
()
(
)
()
22
22
1
22
11
5,8895,889
2,44;24,89
121,0712,09
nSnS
nn
αα
χχ
−−
⋅⋅
====
−−
.
Отсюда находим доверительный интервал для дисперсии с коэффи-
циентом доверия 0,96: (2,4,24,9).
Задачи для самостоятельного решения
1. Провели 5 независимых равноточных измерений для определения
заряда электрона; получили следующие результаты (в абсолютных элек-
тростатических единицах ): 4,781,4,792; 4,795 ; 4,779 ; 4,769. Определите
значение оценки величины заряда электрона и найдите доверительный ин-
тервал при коэффициенте доверия 99 %, считая, что ошибки распределены
по нормальному закону и измерения не имеют систематических ошибок.
Ответ :
x
= 4,783 ; (4,761 , 4,805 ).
2. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были опреде-
лены значения оценок математического ожидания и среднего квадратично-
го отклонения их срока службы , которые оказались равными
x
= 3000 ч и
!
σ
= 20 ч соответственно . Считая, что контролируемый признак (срок
службы ламп) имеет нормальный закон распределения, определите:
а) доверительный интервал для математического ожидания при до-
верительной вероятности 0,9;
б) вероятность, с которой можно утверждать, что абсолютная вели -
чина ошибки определения т не превысит 10 ч
Ответ : а) (2991,2, 3008,8); б) 0,93.
3. Провели 40 измерений базы длиной L. По результатам опыта по -
лучены значения оценок измеряемой величины и среднего квадратичного
отклонения:
x
= 10400(м ) и
!
σ
= 85(м). Ошибки измерения подчиняются
нормальному закону распределения. Найдите вероятность того, что интер -
вал со случайными границами (0,999
x
, 1,001
x
) накроет неизвестный па-
раметр L.
Ответ : 0,55.
4. По результатам 10 измерений емкости конденсатора прибором, не
имеющим систематической ошибки , получили следующие отклонения от
номинального значения (пФ ):
5,4; -13,9; -11; 7,2; -15,6; 29,2; 1,4; -0,3; 6,6; -9,9.
                                         12
квантили χα2 (n −1) и χ 2 α (n −1) . В данном случае α =1 −γ = 1-0,96 = 0,04 и
                           1−
              2              2

распределение имеет девять степеней свободы.                    Следовательно,
χ0,02
  2
      (9 ) =2,09; χ0,98
                   2
                        (9 ) = 21,07.
Для границ доверительного интервала получаем
 (n −1) S 2 = 5,88 ⋅9 =2, 44;    (n −1) S 2 =5,88 ⋅9 =24,89 .
χ 2 α (n −1) 21, 07              χα2 (n −1)   2, 09
  1−
   2                              2

     Отсюда находим доверительный интервал для дисперсии с коэффи-
циентом доверия 0,96: (2,4,24,9).

       Задачи для самостоятельного решения

     1. Провели 5 независимых равноточных измерений для определения
заряда электрона; получили следующие результаты (в абсолютных элек-
тростатических единицах): 4,781, 4,792; 4,795 ; 4,779 ; 4,769. Определите
значение оценки величины заряда электрона и найдите доверительный ин-
тервал при коэффициенте доверия 99 %, считая, что ошибки распределены
по нормальному закону и измерения не имеют систематических ошибок.
     Ответ: x = 4,783 ; (4,761 , 4,805 ).

      2. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были опреде-
лены значения оценок математического ожидания и среднего квадратично-
го отклонения их срока службы, которые оказались равными x = 3000 ч и
� = 20 ч соответственно. Считая, что контролируемый признак (срок
σ
службы ламп) имеет нормальный закон распределения, определите:
      а) доверительный интервал для математического ожидания при до-
верительной вероятности 0,9;
      б) вероятность, с которой можно утверждать, что абсолютная вели-
чина ошибки определения т не превысит 10 ч
      Ответ: а) (2991,2, 3008,8); б) 0,93.

      3. Провели 40 измерений базы длиной L. По результатам опыта по-
лучены значения оценок измеряемой величины и среднего квадратичного
отклонения: x = 10400(м ) и σ�= 85(м). Ошибки измерения подчиняются
нормальному закону распределения. Найдите вероятность того, что интер-
вал со случайными границами (0,999 x , 1,001 x ) накроет неизвестный па-
раметр L.
      Ответ: 0,55.

     4. По результатам 10 измерений емкости конденсатора прибором, не
имеющим систематической ошибки, получили следующие отклонения от
номинального значения (пФ):
     5,4; -13,9; -11; 7,2; -15,6; 29,2; 1,4; -0,3; 6,6; -9,9.