Физика. Строение и физические свойства вещества. Барсуков В.И - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

При температурах отличных от нуля, уровень Ферми совпадает с тем разрешённым уровнем, вероятность заполне-
ния которого равна 1/2.
При температуре отличной от нуля уровень Ферми не является верхней границей заполненных уровней и
0
µ
не рав-
на
maxкин.,
ε
– максимальной кинетической энергии, которой обладают свободные электроны при данной температуре
(рис. 5.4).
Рис. 5.4
5.4. ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ – ДИРАКА
При заполнении энергетических состояний электронами встаёт вопрос, одинаково ли «густо» расположены энерге-
тические уровни в разных частях зоны проводимости металлов. Опыт показывает, что не одинаково.
«Густоту» уровней характеризует плотность состояний
g
– число возможных квантовых состояний в единице
объёма металла, приходящихся на единичный интервал энергий.
2/1
2/3
2
2
4 ε
π=
h
m
g
. (5.2)
Найдём число электронов с энергией от
ε
до
ε
+
ε
d при 0→
ε
d .
При
const
=
g число возможных состояний равно
ε
gd . Умножив число возможных состояний
εgd на вероятность заполнения каждого состояния f (f – const, так как 0→εd ), получим число заня-
тых состояний – число электронов в единице объёма с энергиями от ε до ε + dε, т.е. dn = gfdε. Под-
ставив выражения для f и g, получим закон распределения Ферми – Дирака:
εε
+
π=
µ−ε
d
e
h
m
dn
kT
2/1
2/3
2
1
12
4
. (5.3)
Распределение Ферми – Дирака имеет следующие особенности.
Распределение очень слабо зависит от температуры. Изменение температуры вызывает перераспределение только
тех электронов, которые заполняют уровни, близкие к уровню Ферми. В окрестностях уровня Ферми распределение
«дышит». Тепловое движение непрерывно перебрасывает электроны с уровня на уровень. При очень высоких температу-
рах кривая распределения Ферми – Дирака переходит в кривую распределения Максвелла – Больцмана (рис. 5.6).
Распределение Ферми – Дирака учитывает наличие у свободных электронов «нулевой энергии». По классической
теории проводимости, при T = 0, энергия всех электронов равна нулю, и они должны покоиться. Это противоречит прин-
ципу Паули в квантовой теории, так как на каждом энергетическом уровне может находиться ограниченное число элек-
тронов. Поэтому, при T = 0, свободные электроны заполняют все разрешённые уровни от самого нижнего до уровня Фер-
ми.
Определим энергию электронов на уровне Ферми при T = 0 (при T = 0, 0 < ε < µ
0
и f = 1).
Общее число электронов
2/3
0
2/3
2
0
2/1
2/3
2
2
3
8
1
12
4 µ
π
=εε
+
π==
∫∫
∞
µ−ε
h
m
d
e
h
m
dnn
kT
, (5.4)
откуда
эВ105
8
3
2
3/2
0
2
0
−≈
π
=µ
n
m
h
(5.5)
(получили, что энергия электронов при T = 0 зависит только от их концентрации n !).
Рис. 5.6
Таким образом, квантовая статистика приходит к невероятному с классической точки зрения выводу: при T = 0 все
свободные электроны находятся в состоянии интенсивнейшего движения и обладают, в среднем, огромной кинетической
энергией. Эта энергия электронов нетеплового происхождения.
Сама же энергия Ферми очень слабо зависит от температуры:
Рис. 5.5

Страницы