Эконометрика. Модель парной регрессии. Батуев Э.Н - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

Указания
1) 1.1. Предполагаем, что экономическая переменная У зависит от
величины X. На основе статистических наблюдений требуется опреде-
лить, какова эта зависимость.
Так как величина У зависит не только от Х, но и от других факто-
ров, и имеются неизбежные ошибки измерения, наблюдаемые значе-
ния y
t
всегда случайны. Поэтому зависимости У от Х описываются
стохастической моделью, например, y
t
= а + bx
t
+ ε
t
, t = 1, 2, …, n, где x
t
– заданные значения фактора Х, y
t
- наблюдаемые значения У, ε
t
– слу-
чайная составляющая, ошибка, t – номер наблюдения, a и b – неизвест-
ные параметры.
Естественные предположения:
1) M(ε
t
) = 0, что означает M(y
t
) = а + bx
t
;
2) D(ε
t
) = M
(
)
2
t
ε
= σ
2
для всех t;
3) сov(ε
t
, ε
s
) = M(ε
t
⋅ε
s
) = 0, что означает, что ошибки разных на-
блюдений некоррелированы.
Более того, в силу закона больших чисел, можно предположить,
что ε
t
∼ N(0, σ
2
).
Из теоремы Гаусса – Маркова следует, что при оценивании пара-
метров линейной модели методом наименьших квадратов получаются
состоятельные оценки, эффективные в классе линейных несмещенных
оценок.
Метод наименьших квадратов заключается в том, что параметры
находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений наблю-
даемых значений y
t
от модельных значений ,
вычисляются по
модели. Фактически мы минимизируем выборочную дисперсию ε
t
, что
и обеспечивает эффективность полученных оценок.
t
y
ˆ
t
y
ˆ
t
y
ˆ
()
2
tt
2
t
bxy
В случае простейшей линейной модели имеем: y
t
известны, тогда
= а + bx
t
при заданных x
t
. Отсюда сумма отклонений имеет вид:
e
∑
∑
−−= a
=+
=+
∑∑
.
Эта функция от переменных a и b имеет единственную точку ми-
нимума там, где ее частные производные обращаются в нуль. Вычис-
ляя частные производные по a и b и приравнивая их к нулю, получаем
систему нормальных уравнений для отыскания параметров модели.
Опуская индексы суммирования, имеем:
4
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∑
∑
∑
∑
yxxbx
yxb1
2
a
a
                                Указания
     1) 1.1. Предполагаем, что экономическая переменная У зависит от
величины X. На основе статистических наблюдений требуется опреде-
лить, какова эта зависимость.
     Так как величина У зависит не только от Х, но и от других факто-
ров, и имеются неизбежные ошибки измерения, наблюдаемые значе-
ния yt всегда случайны. Поэтому зависимости У от Х описываются
стохастической моделью, например, yt = а + bxt + εt, t = 1, 2, …, n, где xt
– заданные значения фактора Х, yt - наблюдаемые значения У, εt – слу-
чайная составляющая, ошибка, t – номер наблюдения, a и b – неизвест-
ные параметры.
     Естественные предположения:
     1) M(εt) = 0, что означает M(yt) = а + bxt;
     2) D(εt) = M (ε t2 ) = σ2 для всех t;
     3) сov(εt, εs) = M(εt⋅εs) = 0, что означает, что ошибки разных на-
блюдений некоррелированы.
     Более того, в силу закона больших чисел, можно предположить,
что εt ∼ N(0, σ2).
     Из теоремы Гаусса – Маркова следует, что при оценивании пара-
метров линейной модели методом наименьших квадратов получаются
состоятельные оценки, эффективные в классе линейных несмещенных
оценок.
     Метод наименьших квадратов заключается в том, что параметры
находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений наблю-
даемых значений yt от модельных значений ŷt , ŷt вычисляются по
модели. Фактически мы минимизируем выборочную дисперсию εt , что
и обеспечивает эффективность полученных оценок.
     В случае простейшей линейной модели имеем: yt известны, тогда
ŷ t = а + bx при заданных x . Отсюда сумма отклонений имеет вид:
             t              t

                           ∑ e = ∑ ( y − a − bx ) .
                               2                     2

                               t        t        t

     Эта функция от переменных a и b имеет единственную точку ми-
нимума там, где ее частные производные обращаются в нуль. Вычис-
ляя частные производные по a и b и приравнивая их к нулю, получаем
систему нормальных уравнений для отыскания параметров модели.
Опуская индексы суммирования, имеем:
                        ⎪
                        ⎨
                              ∑
                        ⎧a 1 + b x = ∑ ∑   y

                              ∑
                        ⎪⎩a x + b x =∑ ∑
                                      2
                                             yx


                                    4

Страницы