Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 28 стр.

     Действительно, если это       ⎛ 0 −1 −1 ⎞                ⎛ 10 ⎞
                                   ⎜        2 4 ⎟             ⎜ 8 ⎟
условие выполняется, то и          ⎜              ⎟           ⎜ ⎟
суммы модулей элементов            ⎜ −3        −1 ⎟      β := ⎜ 1 ⎟
                              α :=          0
строк матрицы α меньше 1.          ⎜ 5          5 ⎟           ⎜ 4 ⎟
     На рис. 2.2 приведен          ⎜ −            ⎟           ⎜ ⎟
                                   ⎜
                                      3     1
                                                0 ⎟           ⎝ 10 ⎠
пример решения в MathCAD           ⎝ 10 5         ⎠
методом Якоби системы с        yakobi ( ε) := err ← 100
матрицей A и вектором пра-
                                               x← β
вых частей b:
     ⎛8 4 2 ⎞         ⎛10 ⎞                    while err > ε
     ⎜          ⎟     ⎜ ⎟                          x1 ← α ⋅ x + β
 A = ⎜ 3 5 1 ⎟, b = ⎜ 5 ⎟.
     ⎜ 3 − 2 10 ⎟     ⎜4⎟                          err ← x1 − x
     ⎝          ⎠     ⎝ ⎠
                                                   x ← x1
Легко убедиться, что для
исходной матрицы A вы-                         x
полняются условия диаго-
нального преобладания, а
                                   yakobi ( 0.001) =
для матрицы α – условия
(2.11), что обеспечивает
сходимость итерационного           Рис. 2.2. Решение СЛАУ
процесса.                                методом Якоби
Метод Зейделя
     Под методом Зейделя обычно понимается такое видоизме-
нение МПИ (2.10) решения СЛАУ (2.8), в котором для подсчета
                                                                     r
i-й компоненты (k+1)-го приближения к искомому вектору x *
используются уже вычисленные на этом, т.е. (k+1)-м шаге, но-
вые значения первых i–1 компонент. Это означает, что если сис-
тема (2.8) тем или иным способом сведена (например, с помо-
щью метода Якоби) к системе (2.9)r с матрицей коэффициентов
α и вектором свободных членов β , то ее приближение к реше-
нию по методу Зейделя определяется системой равенств
⎧ x1(k +1) = α11 x1(k ) + α12 x 2 (k ) + α13 x 3 (k ) + ... + α1n x n (k ) + β1
⎪⎪ x 2 (k +1) = α 21 x1(k +1) + α 22 x 2 (k ) + α 23 x 3 (k ) + ... + α 2 n x n (k ) + β 2                . (2.11)
 ⎨.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
 ⎪ (k +1)                 (k +1)              (k +1)                           (k +1 )             (k )
 ⎪⎩ x n       = α n1 x1          + αn 2 x2           + ... + α n ,n −1 x n −1          + α n ,n x n + β 3


                                                        30