Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

28
где x
r
– искомый вектор, а α и
β
r
– новые матрица и вектор. Бу-
дем решать (2.8) методом последовательных приближений. За-
дадим нулевое приближение:
(
)
bx
r
r
=
0
, тогда
(
)
1
x
r
определяется
рекуррентным равенством
(
)
(
)
β
r
r
r
+=
01
xx α ,
далее находим
()
2
x
r
(
)
(
)
β
r
r
r
+=
12
xx α .
Для k-й итерации получаем
(
)
(
)
...,2,1,0,
1
=+=
+
kxx
kk
β
r
r
r
α (2.9)
Такой итерационный процесс будем называть методом простых
итераций (МПИ). Изучим вопрос о сходимости этого процесса,
т.е. определим, какие нужно предъявить требования к виду мат-
рицы
α , чтобы
()
*
lim
xx
k
k
r
r
=
∞→
.
Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием схо-
димости МПИ (2.9) при любом начальном векторе
()
0
x
r
к
решению системы (2.8) является требование, чтобы норма
матрицы
α была меньше 1:
1<α . (2.10)
Это требование равносильно условию малости элементов
матрицы
α по абсолютной величине, т.к. в качестве нормы мат-
рицы используют максимальное значение из сумм модулей эле-
ментов строк этой матрицы
∑
=
≤≤
=
n
j
ij
ni
a
1
1
maxα .
Важной проблемой является вопрос о способе остановки
итерационного процесса при достижении точности. Наиболее
простой способ – это сравнение между собой соответствующих
неизвестных на двух соседних итерациях (k+1) и (k). Если мак-
симальная из всех разностей становится меньше заданной точ-
ности
ε
, то итерационный процесс останавливается 
     r                                 r
где x – искомый вектор, а α и β – новые матрица и вектор. Бу-
дем решать (2.8) методом последовательных приближений. За-
                                      r        r          r
дадим нулевое приближение: x (0 ) = b , тогда x (1) определяется
рекуррентным равенством
                            r          r        r
                            x (1) = α x (0 ) + β ,
                r
далее находим x (2 )
                            r          r        r
                            x (2 ) = α x (1) + β .
Для k-й итерации получаем
                         r            r        r
                        x (k +1) = α x (k ) + β , k = 0, 1, 2, ... (2.9)
Такой итерационный процесс будем называть методом простых
итераций (МПИ). Изучим вопрос о сходимости этого процесса,
т.е. определим, какие нужно предъявить требования к виду мат-
                     r       r
рицы α , чтобы lim x (k ) = x * .
                 k →∞
     Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием схо-
                                                       r
     димости МПИ (2.9) при любом начальном векторе x (0 ) к
     решению системы (2.8) является требование, чтобы норма
     матрицы α была меньше 1:
                        α <1.                         (2.10)

    Это требование равносильно условию малости элементов
матрицы α по абсолютной величине, т.к. в качестве нормы мат-
рицы используют максимальное значение из сумм модулей эле-
ментов строк этой матрицы
                                           n
                            α = max ∑ aij .
                                1≤ i ≤ n
                                           j =1

   Важной проблемой является вопрос о способе остановки
итерационного процесса при достижении точности. Наиболее
простой способ – это сравнение между собой соответствующих
неизвестных на двух соседних итерациях (k+1) и (k). Если мак-
симальная из всех разностей становится меньше заданной точ-
ности ε, то итерационный процесс останавливается


                                   28

Страницы