Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

26
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
−−
−−−
m
m
m
m
mm
mmm
f
f
f
f
f
x
x
x
x
x
ca
bca
bca
bca
bc
1
3
2
1
1
3
2
1
111
333
222
11
00000
0000
0000
0000
00000
MM
K
K
KKKKKKKK
K
K
K
.
Если при этом выполняется условие
iii
abc +≥ , то говорят, что
матрица этой системы имеет диагональное преобладание.
Предположим, что существуют такие наборы чисел
α
i
и
β
i
(i = 1, 2, …, m–1), при которых
111 +++
+
=
iiii
xx
β
α
. (2.3)
Уменьшим в (2.3) индекс на единицу:
iiii
xx
β
α
+
=
−1
и подставим полученное выражение в (2.2)
iiiiiiiiii
fxbxcaxa
=
+
−
+
+1
β
α
,
откуда
iii
iii
i
iii
i
i
ac
fa
x
ac
b
x
α
β
α
−
−
+
−
=
+1
. Данное равенство в точности
совпадает с (2.3), если при всех i = 1, 2, …, m–1 выполняются
рекуррентные соотношения
iii
i
i
ac
b
α
α
−
=
+1
,
iii
iii
i
ac
fa
α
β
β
−
−
=
+1
. (2.4)
Процесс вычисления
α
i
и
β
i
можно начать со значений
1
1
1
c
b
=
α
,
1
1
1
c
f
−=
β
. (2.4′)
Далее продолжаем по формулам (2.4) последовательно при
i = 1, 2, …, m–1. При i = m из (2.2) имеем
mmmmm
fxcxa
=
−
−1
. (2.5)
В то же время при i = m–1 из (2.3) получаем
mmmm
xx
β
α
+
=
−1
. (2.6)
Подставляя выражение для x
m–1
из (2.6) в (2.5) и решая получен-
ное выражение относительно x
m
, получаем: 
      ⎡− c1 b1 0  0 K 0   0    0     ⎤ ⎡ x1                  ⎤ ⎡ f1     ⎤
      ⎢                              ⎥ ⎢x                    ⎥ ⎢        ⎥
      ⎢a2 − c2 b2 0 K 0   0    0     ⎥ ⎢ 2                   ⎥ ⎢ f2     ⎥
      ⎢                              ⎥ ⎢x                    ⎥ ⎢        ⎥
      ⎢0 a3 − c3 b3 K  0  0    0     ⎥⋅⎢ 3                   ⎥ ⎢ f3     ⎥
      ⎢K K K K K K K K               ⎥ ⎢M                    ⎥=⎢        ⎥.
      ⎢                              ⎥ ⎢                     ⎥ ⎢M       ⎥
      ⎢0 0 0 0 K am −1 − cm −1 bm −1 ⎥ ⎢ xm −1               ⎥ ⎢ f      ⎥
      ⎢                              ⎥ ⎢                     ⎥ ⎢ m −1   ⎥
      ⎣⎢0 0 0 0 K     0  am   − cm ⎦⎥ ⎢ xm                   ⎥ ⎢ fm     ⎥
                                       ⎣                     ⎦ ⎣        ⎦
Если при этом выполняется условие ci ≥ bi + ai , то говорят, что
матрица этой системы имеет диагональное преобладание.
      Предположим, что существуют такие наборы чисел αi и βi
(i = 1, 2, …, m–1), при которых
                          xi = α i+1 xi+1 + β i+1 .                    (2.3)
      Уменьшим в (2.3) индекс на единицу: xi −1 = α i xi + β i
и подставим полученное выражение в (2.2)
                     aiα i xi + ai β i − ci xi + bi xi +1 = f i ,
                  bi             a β − fi
откуда xi =              xi +1 + i i         . Данное равенство в точности
              ci − aiα i         ci − aiα i
совпадает с (2.3), если при всех i = 1, 2, …, m–1 выполняются
рекуррентные соотношения
                                     bi                 a β − fi
                       α i+1 =              , β i +1 = i i          .  (2.4)
                                 ci − aiα i              ci − aiα i
Процесс вычисления αi и βi можно начать со значений
                              b              f
                      α1 = 1 , β1 = − 1 .                             (2.4′)
                              c1            c1
Далее продолжаем по формулам (2.4) последовательно при
i = 1, 2, …, m–1. При i = m из (2.2) имеем
                          am xm −1 − cm xm = f m .                     (2.5)
В то же время при i = m–1 из (2.3) получаем
                                     xm −1 = α m xm + β m .            (2.6)
Подставляя выражение для xm–1 из (2.6) в (2.5) и решая получен-
ное выражение относительно xm, получаем:

                                    26

Страницы