Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

24
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
)0()0(
2
)0(
21
)0(
1
)0(
2
)0(
22
)0(
221
)0(
21
)0(
1
)0(
12
)0(
121
)0(
11
...
...
...
...
mmmmmm
mm
mm
fxaxaxa
fxaxaxa
fxaxaxa
первый элемент 0
)0(
11
≠a . Назовем его ведущим элементом пер-
вой строки. Поделим все элементы этой строки на
)0(
11
a и исклю-
чим x
1
из всех последующих строк, начиная со второй, путем
вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффи-
циент при
1
x в соответствующей строке.
Получим
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅
=⋅++⋅+⋅+
)1()1(
3
)1(
32
)1(
2
)1(
2
)1(
23
)1(
232
)1(
22
)1(
1
)1(
13
)1(
132
)1(
121
...
...
...
...
mmmmmm
mm
mm
fxaxaxa
fxaxaxa
fxaxaxax
.
Если 0
)1(
22
≠a , то, продолжая аналогичное исключение, при-
ходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=⋅++
=⋅++⋅+
=⋅++⋅+⋅+
)(
)3(
3
)3(
33
)2(
2
)2(
23
)2(
232
)1(
1
)1(
13
)1(
132
)1(
121
...
...
...
m
mm
mm
mm
mm
fx
fxax
fxaxax
fxaxaxax
KKK
.
Из нее в обратном порядке находим все значения x
i
:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⋅−−⋅−⋅−=
⋅−=
=
−
−
−
−−
mm
m
m
mm
m
mm
m
mm
xaxaxafx
xafx
fx
)1(
13
)1(
132
)1(
12
)1(
11
)1(
1
)1(
11
)(
...
KKK
. 
                  ⎧ a11( 0 ) ⋅ x 1 + a12( 0 ) ⋅ x 2 + ... + a1(m0 ) ⋅ x m = f1( 0 )
                  ⎪ (0)               (0)                     (0)             (0)
                  ⎪ a 21 ⋅ x 1 + a 22 ⋅ x 2 + ... + a 2 m ⋅ x m = f 2
                  ⎨
                  ⎪...
                  ⎪ a ( 0 ) ⋅ x + a ( 0 ) ⋅ x + ... + a ( 0 ) ⋅ x = f ( 0 )
                  ⎩ m1 1 m 2 2                                mm        m     m

                ( 0)
первый элемент a11   ≠ 0 . Назовем его ведущим элементом пер-
                                                                                  ( 0)
вой строки. Поделим все элементы этой строки на a11                                    и исклю-
чим x1 из всех последующих строк, начиная со второй, путем
вычитания первой (преобразованной), умноженной на коэффи-
циент при x1 в соответствующей строке.
    Получим
                  ⎧ x1+ a12 (1)
                                ⋅ x 2 + a13 (1)
                                                ⋅ x 3 +... + a1(1m) ⋅x m = f1(1)
                  ⎪        (1)             (1)                 (1)           (1)
                  ⎪ a22 ⋅ x 2 + a23 ⋅ x 3 +... + a2 m ⋅ x m = f 2
                  ⎨                                                                .
                  ⎪...
                  ⎪ a (1) ⋅x + a (1) ⋅x +... + a (1) ⋅ x = f (1)
                  ⎩       m2        2      m3      3          mm       m    m
            (1)
    Если a22 ≠ 0 , то, продолжая аналогичное исключение, при-
ходим к системе уравнений с верхней треугольной матрицей
                ⎧ x1 + a12
                        (1)
                             ⋅x 2 + a13 (1)
                                             ⋅x 3 +... + a1(1m) ⋅x m = f1(1)
                ⎪                        ( 2)
                ⎪               x 2 + a23     ⋅x 3 +... + a2( 2m) ⋅x m = f 2( 2)
                ⎪
                ⎨                                x 3 +... + a3(3m) ⋅x m = f 3(3) .
                ⎪                                 K K                     K
                ⎪
                ⎪                                                    x m = f m( m )
                ⎩
Из нее в обратном порядке находим все значения xi:
                 ⎧ x m = f m( m )
                 ⎪               ( m −1)        ( m −1)
                 ⎪ x m −1= f m −1 − am −1 m ⋅x m
                 ⎨                                                                  .
                 ⎪K K                         K
                 ⎪          (1)        (1)            (1)               (1)
                 ⎩ x1= f1 − a12 ⋅x 2 −a13 ⋅x 3 −... − a1m ⋅x m
                                                 24

Страницы