Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 23 стр.

    Процесс приведения к системе с треугольной матрицей на-
зывается прямым ходом, а нахождения неизвестных – обратным.
Если один из ведущих элементов равен нулю, изложенный ал-
горитм метода Гаусса неприменим. Кроме того, если какие-либо
ведущие элементы малы, то это приводит к увеличению ошибок
округления и ухудшению точности счета. Поэтому обычно ис-
пользуется другой вариант метода Гаусса – схема Гаусса с вы-
бором главного элемента. Путем перестановки строк, а также
столбцов с соответствующей перенумерацией коэффициентов и
неизвестных добиваются выполнения условия:
                      aii( 0) ≥ aij( 0 ) , i, j = 1, 2, …, m,
т.е. осуществляется выбор первого главного элемента. Разделив
первую строку на главный элемент, как и прежде, исключают x1
из остальных уравнений. Затем для оставшихся столбцов и
строк выбирают второй главный элемент и т.д.
Метод прогонки
     Часто возникает необходимость в решении СЛАУ, матрицы
которых являются слабо заполненными, т.е. содержат много ну-
левых элементов. В то же время эти матрицы имеют определен-
ную структуру. Среди таких систем выделим системы с матри-
цами ленточной структуры, в которых ненулевые элементы рас-
полагаются на главной диагонали и на нескольких побочных
диагоналях. Для решения систем с ленточными матрицами ко-
эффициентов вместо метода Гаусса можно использовать более
эффективные методы.
     Рассмотрим наиболее простой случай: систему с трехдиаго-
нальной матрицей коэффициентов, к которой сводится решение
ряда численных задач (сплайн-интерполяция таблично заданной
функции, дискретизация краевых задач для дифференциальных
уравнений методами конечных разностей и др.). Тогда СЛАУ
можно записать в упрощенном виде:
                      ai xi−1 − ci xi + bi xi+1 = f i ,    (2.2)
где i = 1, 2, …, m. Схема (2.2) имеет трехдиагональную структу-
ру, что хорошо видно из следующего, эквивалентного (2.2), век-
торно-матричного представления:

                                   25