Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 21 стр.

ций. Таким образом, для решения системы, например, из
m = 100 уравнений потребуется совершить 10158 операций, что
не под силу даже самым мощным современным ЭВМ.
Метод обратной матрицы
    Если det A ≠ 0, то существует обратная матрица A–1. По оп-
ределению обратной матрицы, это такая матрица, что
                                              ⎛1          0     0⎞
                                                               ...
                                              ⎜                    ⎟
                                                0         1    ...
                                                                0⎟
A A = A A = E, где E – единичная матрица: E = ⎜
   –1  –1
                                                                     .
                                              ⎜K          K K K⎟
                                              ⎜                    ⎟
                                              ⎜0          0 ... 1 ⎟⎠
                                              ⎝
    Если обратная матрица известна, то, умножая на нее СЛАУ
                     r        r    r        r   r        r
слева, получим: A −1Ax = A −1 f , Ex = A −1 f , x = A −1 f . Следо-
вательно, решение СЛАУ свелось к умножению известной об-
ратной матрицы на вектор правых частей. Таким образом, зада-
ча решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы свя-
заны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют за-
дачей обращения матрицы.
    Метод обратной матрицы можно использовать для решения
систем небольших размерностей. На рис. 2.1 показано решение
системы с заданной матрицей A и вектором правых частей b с
применением стандартных функций нахождения обратной мат-
рицы и умножения матрицы на вектор.
      ⎛8 4 2 ⎞               ⎛ 10 ⎞
 A := ⎜ 3 5 1 ⎟
                        b := ⎜ 5 ⎟
                                                −1
      ⎜         ⎟            ⎜ ⎟
                                       x := A        ⋅b   x=
      ⎝ 3 −2 10 ⎠
                             ⎝4⎠
        Рис. 2.1. Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Метод Гаусса
    Наиболее известным и популярным точным способом ре-
шения линейных систем вида (2.1) является метод Гаусса. Этот
метод заключается в последовательном исключении неизвест-
ных. Пусть в системе уравнений


                                  23