Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 19 стр.

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
                     2.1. Общие вопросы
     По оценкам современной научной литературы, около 75 %
всех вычислительных задач приводят к решению систем линей-
ных алгебраических уравнений (СЛАУ). Иногда СЛАУ получа-
ется непосредственно как математическая модель какого-либо
процесса, иногда является приближением (аппроксимацией)
дифференциальных/интегральных уравнений, описывающих
физический процесс. Поэтому для решения задачи надо уметь
быстро и качественно решать СЛАУ. Конечно, существует мно-
го методов и современных пакетов прикладных программ для
решения СЛАУ, но для того, чтобы их успешно применять, не-
обходимо разбираться в основах построения методов и алгорит-
мов, иметь представление о недостатках и преимуществах ис-
пользуемых методов.
     Все методы решения линейных алгебраических задач (на-
ряду с задачей на решение СЛАУ – это и вычисление определи-
телей, и обращение матриц, и задачи на собственные значения)
можно разбить на два класса: прямые (точные) и итерационные
(приближенные).
     Прямые методы позволяют получить решение за конечное
число арифметических операций. Если операции реализуются
точно, то и решение будет точным (поэтому прямые методы на-
зываются еще точными методами). В итерационных методах
решением является предел некоторой бесконечной последова-
тельности единообразных действий.
     Будем решать лишь такие СЛАУ, у которых число уравне-
ний совпадает с числом неизвестных, причем будем предпола-
гать наличие единственного решения.
     Задана СЛАУ размерности m:
                 ⎧a11 ⋅ x1+ a12 ⋅ x 2 +... + a1m ⋅ x m = f1
                 ⎪
                 ⎪a21 ⋅ x1+ a22 ⋅ x 2 +... + a2 m ⋅ x m = f 2
                 ⎨                                             ,   (2.1)
                 ⎪ ...
                 ⎪⎩am1 ⋅ x1+ am 2 ⋅ x 2 +... + amm ⋅ x m = f m
                                   21