Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

27
mmm
mmm
m
ac
fa
x
α
β
−
−
=
, (2.7)
где
α
m
и
β
m
известны из предыдущего шага. Далее по формулам
(2.3) последовательно находятся x
m–1
, x
m–2
, …, x
1
.
Данный способ решения системы уравнений вида (2.2) назы-
вается методом прогонки. Исходя из вышеизложенного, можно
выделить три этапа метода прогонки. На первом этапе по форму-
лам (2.4′), (2.4) определяются так называемые прогоночные ко-
эффициенты
α
i
и
β
i
при i = 2, 3, …, m (прямая прогонка). Затем
по формуле (2.7) находится x
m
. На последнем этапе по формуле
(2.3) определяются x
i
при i = m–1, m–2, …, 1 (обратная прогонка).
Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы
в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на
нуль, а при больших размерностях систем не должно быть бы-
строго роста погрешностей округления.
Будем называть прогонку корректной, если знаменатели
прогоночных коэффициентов (2.4) не обращаются в нуль, и ус-
тойчивой, если |
α
i
| < 1 при i = 1, 2, 3, …, m.
Теорема 2.1. Пусть коэффициенты a
i
, b
i
уравнения (2.2) при
i = 2, 3, …, m–1 отличны от нуля и пусть
iii
abc +≥ при i = 1, 2, 3, …, m.
Тогда прогонка (2.3)–(2.7) корректна и устойчива.
Условия этой теоремы, которые во многих приложениях
выполняются автоматически, являются достаточными условия-
ми корректности и устойчивости прогонки. Если эти условия не
выполняются, то можно аналогично схеме Гаусса организовать
выбор главного элемента.
2.3. Итерационные методы решения линейных
алгебраических систем
Решение СЛАУ методом простых итераций
Система (2.1′) может быть преобразована к эквивалентной
ей системе вида:
β
r
r
r
+= xx α , (2.8) 
                                  am β m − f m
                           xm =                ,            (2.7)
                                  cm − amα m
где αm и βm известны из предыдущего шага. Далее по формулам
(2.3) последовательно находятся xm–1, xm–2, …, x1.
     Данный способ решения системы уравнений вида (2.2) назы-
вается методом прогонки. Исходя из вышеизложенного, можно
выделить три этапа метода прогонки. На первом этапе по форму-
лам (2.4′), (2.4) определяются так называемые прогоночные ко-
эффициенты αi и βi при i = 2, 3, …, m (прямая прогонка). Затем
по формуле (2.7) находится xm. На последнем этапе по формуле
(2.3) определяются xi при i = m–1, m–2, …, 1 (обратная прогонка).
     Для успешного применения метода прогонки нужно, чтобы
в процессе вычислений не возникало ситуаций с делением на
нуль, а при больших размерностях систем не должно быть бы-
строго роста погрешностей округления.
     Будем называть прогонку корректной, если знаменатели
прогоночных коэффициентов (2.4) не обращаются в нуль, и ус-
тойчивой, если |αi| < 1 при i = 1, 2, 3, …, m.
     Теорема 2.1. Пусть коэффициенты ai, bi уравнения (2.2) при
     i = 2, 3, …, m–1 отличны от нуля и пусть
                     ci ≥ bi + ai при i = 1, 2, 3, …, m.
     Тогда прогонка (2.3)–(2.7) корректна и устойчива.
     Условия этой теоремы, которые во многих приложениях
выполняются автоматически, являются достаточными условия-
ми корректности и устойчивости прогонки. Если эти условия не
выполняются, то можно аналогично схеме Гаусса организовать
выбор главного элемента.

       2.3. Итерационные методы решения линейных
                  алгебраических систем
Решение СЛАУ методом простых итераций
     Система (2.1′) может быть преобразована к эквивалентной
ей системе вида:
                            r    r r
                            x =α x+β ,                      (2.8)

                               27

Страницы