Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 27 стр.

                              max xik − xik +1 < ε .
                              1≤ i ≤ n
Можно применить способ, связанный с вычислением вектора
                 n
        r
невязки r : ri = ∑ aij x kj − bi , показывающий, насколько полу-
                    j =1
                              r
ченное приближение x k отличается от точного решения. Затем
                                                         r
вычисляется норма вектора невязки r = max | ri | . Если она ма-
                                                                1≤i ≤n
         r
ла, т.е. r < ε , то итерационный процесс останавливается.
     Рассмотрим несколько способов построения МПИ.
Метод Якоби
     Предположим, что диагональные элементы матрицы A ис-
ходной системы (2.1′) не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разре-
шим первое уравнение системы (2.1) относительно x1, второе
относительно x2 и т.д. Получим систему в виде (2.8):
                   ⎧ x1 = α12 x2 + α13 x3 + ... + α1n xn + β1
                   ⎪
                   ⎪ x2 = α 21 x1 + α 23 x3 + ... + α 2 n xn + β 2
                   ⎨                                                        ,
                   ⎪....................................................
                   ⎪ xn = α n1 x1 + α n 2 x2 + ... + α n , n −1 xn −1 + β n
                   ⎩
где
                       ⎧ aij
                       ⎪− , i ≠ j                        b
               α ij = ⎨ aii                 , β i = i , i = 1, 2, ..., n .
                       ⎪ 0,                              aii
                       ⎩            i= j
     Метод, основанный на таком приведении СЛАУ к виду
(2.8), называют методом Якоби. Теперь, задав нулевое прибли-
жение, по рекуррентным соотношениям (2.9) можем выполнять
итерационный процесс. Сформулированное выше условие схо-
димости в методе Якоби равносильно условию диагонального
преобладания:
                                   n
                           aii > ∑ aij , i = 1, 2, ..., n.
                                  j =1
                                 i≠ j



                                         29