Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

45
4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
4.1. Численное дифференцирование
Численное дифференцирование, т.е. нахождение значений
производных заданной функции
(
)
xfy
=
в заданных точках x, в
отличие от рассмотренного в п. 4.3 численного интегрирования,
можно считать не столь актуальной проблемой в связи с отсут-
ствием принципиальных трудностей с аналитическим нахожде-
нием производных. Однако имеется ряд важных задач, для ко-
торых численное дифференцирование является единственным
способом нахождения производной. Это, например, поиск про-
изводной
таблично заданной функции или дифференцирование
функции в процессе численного решения, когда значения этой
функции известны только в узлах сетки. Кроме того, возможно
сильное усложнение задачи при аналитическом дифференциро-
вании функции, и использование численного подхода упрощает
задачу.
Существует несколько способов для получения формул
численного дифференцирования, которые в конечном итоге мо-
гут привести
к одним и тем же формулам. Во-первых, можно
аппроксимировать таблично заданную функцию каким-либо
способом (линейная интерполяция, многочлен Лагранжа,
сплайн-функции и т.д.) и дифференцировать полученную не-
прерывную функцию, приближающую исходную. Эта задача
рассматривалась выше. Во-вторых, для вывода формул числен-
ного дифференцирования можно воспользоваться понятием ко-
нечных
разностей. Пусть узлы таблицы x
i
расположены на рав-
ных расстояниях: ihxx
i
+
=
0
, f
i
– соответствующие значения
функции; величину h называют шагом таблицы. Разности f
i+1
– f
i
называют разностями первого порядка. Эти величины обозна-
чают как разность вперед (Δ
+
f
i
), разность назад (Δ
–
f
i+1
): f
i+1
–
– f
i
= Δ
+
f
i
= Δ
–
f
i+1
и центральную разность Δ
±
f
i
= f
i+1
– f
i–1
.
Разно-
сти высших порядков образуют при помощи рекуррентных со-
отношений
(
)
i
m
i
m
i
m
i
m
ffff
1
1
11 −
+
−−
Δ−Δ=ΔΔ=Δ . Используя эти
формулы, первую производную можно определить разными
способами: 
4. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
               4.1. Численное дифференцирование
      Численное дифференцирование, т.е. нахождение значений
производных заданной функции y = f (x ) в заданных точках x, в
отличие от рассмотренного в п. 4.3 численного интегрирования,
можно считать не столь актуальной проблемой в связи с отсут-
ствием принципиальных трудностей с аналитическим нахожде-
нием производных. Однако имеется ряд важных задач, для ко-
торых численное дифференцирование является единственным
способом нахождения производной. Это, например, поиск про-
изводной таблично заданной функции или дифференцирование
функции в процессе численного решения, когда значения этой
функции известны только в узлах сетки. Кроме того, возможно
сильное усложнение задачи при аналитическом дифференциро-
вании функции, и использование численного подхода упрощает
задачу.
      Существует несколько способов для получения формул
численного дифференцирования, которые в конечном итоге мо-
гут привести к одним и тем же формулам. Во-первых, можно
аппроксимировать таблично заданную функцию каким-либо
способом (линейная интерполяция, многочлен Лагранжа,
сплайн-функции и т.д.) и дифференцировать полученную не-
прерывную функцию, приближающую исходную. Эта задача
рассматривалась выше. Во-вторых, для вывода формул числен-
ного дифференцирования можно воспользоваться понятием ко-
нечных разностей. Пусть узлы таблицы xi расположены на рав-
ных расстояниях: xi = x0 + ih , fi – соответствующие значения
функции; величину h называют шагом таблицы. Разности fi+1 – fi
называют разностями первого порядка. Эти величины обозна-
чают как разность вперед (Δ+ fi), разность назад (Δ– fi+1): fi+1 –
– fi = Δ+ fi = Δ– fi+1 и центральную разность Δ± fi = fi+1 – fi–1. Разно-
сти высших порядков образуют при помощи рекуррентных со-
                        (      )
отношений Δm f i = Δ Δm −1 f i = Δm −1 fi +1 − Δm −1 f i . Используя эти
формулы, первую производную можно определить разными
способами:
                                   45

Страницы