Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

46
()
h
ff
xf
ii
i
−
=
+
+
1
'
, (4.1)
()
h
ff
xf
ii
i
1
'
−
−
−
=
, (4.2)
()
h
ff
xf
ii
i
2
11
'
−+
±
−
= . (4.3)
Геометрически вычисление производной по трем этим фор-
мулам эквивалентно замене касательной в точке B прямыми BС,
AB и AC соответственно и поиску тангенса угла наклона этих
прямых вместо тангенса угла наклона касательной (рис. 4.1).
x
i–1
f
i–1
A
B
C
Касательная
x
i
x
i+1
f
i–1
f
i+1
Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация разностного
дифференцирования
Изучим вопрос о порядке точности (аппроксимации) этих
формул. Разложим f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x
i
:
...
62
...,
62
32
1
32
1
+
′′′
−
′′
+
′
−=+
′′′
+
′′
+
′
+=
−+ iiiiiiiiii
f
h
f
h
fhfff
h
f
h
fhff
Подставив эти разложения в (4.1), получаем
()
...f
h
f
h
f
h
f...f
h
f
h
fhf
xf
iii
iiiii
i
'
+
′′′
+
′′
+
′
=
−+
′′′
+
′′
+
′
+
=
+
62
62
2
32
Здесь
i
f
′
– первая производная, которую необходимо найти, а
...
62
2
+
′′′
+
′′
ii
f
h
f
h
– погрешность, с которой вычисляется произ-
водная. Видим, что первый член погрешности имеет порядок h,
значит, при измельчении шага сетки погрешность будет умень-
шаться пропорционально h
1
. Поэтому говорят, что формула 
                                      f i +1 − f i
                                              f +' (xi ) =
                                                   ,      (4.1)
                                            h
                                      f − f i −1
                         f −' (xi ) = i            ,      (4.2)
                                            h
                                     f −f
                        f ±' (xi ) = i +1 i −1 .          (4.3)
                                           2h
   Геометрически вычисление производной по трем этим фор-
мулам эквивалентно замене касательной в точке B прямыми BС,
AB и AC соответственно и поиску тангенса угла наклона этих
прямых вместо тангенса угла наклона касательной (рис. 4.1).
                                                                    fi+1
                                           fi–1
                                                                           C
                                                  B
            fi–1
                                                      Касательная
                   A

              xi–1           xi               xi+1
         Рис. 4.1. Геометрическая интерпретация разностного
                         дифференцирования

       Изучим вопрос о порядке точности (аппроксимации) этих
формул. Разложим f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки xi:
                        h2        h3                                     h2        h3
 f i +1 = f i + hf i′ +    f i′′+    f i′′′+ ..., f i −1 = f i − hf i′ +    f i′′−    f i′′′+ ...
                        2         6                                      2         6
Подставив эти разложения в (4.1), получаем
                                      h2        h3
                       f i + hfi′ +      f i′′+    fi′′′+ ... − f i
                                                                            h      h2
        f +' (xi ) =                   2        6                   = f i′ + fi′′+    f i′′′+ ...
                                             h                              2      6
Здесь fi′ – первая производная, которую необходимо найти, а
 h        h2
   f i′′+    f i′′′+ ... – погрешность, с которой вычисляется произ-
 2        6
водная. Видим, что первый член погрешности имеет порядок h,
значит, при измельчении шага сетки погрешность будет умень-
шаться пропорционально h 1. Поэтому говорят, что формула
                                                       46

Страницы