Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 45 стр.

имеет первый порядок точности. Нетрудно показать, что фор-
мула (4.2) также имеет первый порядок аппроксимации.
   Покажем, что формула центральной разности имеет второй
порядок точности. Подставим в (4.3) разложения для fi+1 и fi–1:
                               h2        h3                          h2       h3
               f i + hf i′ +      f i′′+    fi′′′+ ... − f + hf i′ −    fi′′+    fi′′′+ ...i
                                                                                                     h2
f ±' (xi ) =                    2        6                            2       6              = fi′ +    f i′′′+ ...
                                                      2h                                             6
Погрешность вычисления производной пропорциональна h2,
значит, формула (4.3) имеет второй порядок аппроксимации.
    Основываясь на понятии конечных разностей, можно полу-
чить формулы для аппроксимации производных высших поряд-
ков. Покажем это на примере формулы центральной разности
для аппроксимации второй производной:
                  Δ f −Δ f     f − f − f + f i −1 f i +1 − 2 f i + f i −1
     f ±'' (xi ) = + i 2 − i = i +1 i 2 i        =                        .
                      h              h                     h2
Можно доказать, что эта формула имеет второй порядок точно-
сти (доказать самостоятельно).
    Наконец, третьим способом получения формул численного
дифференцирования является метод неопределенных коэффи-
циентов. Представим приближенно в точке х = х0 k-ю производ-
ную таблично заданной функции в виде линейной комбинации
ее значений в узлах
                                                              N
                                            f (k ) ( x0 ) ≈   ∑ C f (x ) ,
                                                              i =1
                                                                     i   i                                (4.4)

где Ci – числовые коэффициенты, которые выберем из условия,
чтобы эта формула была точна для многочлена максимально
высокой степени. Иными словами, потребуем, чтобы для функ-
                        m
ции P( x ) =          ∑a x
                       j =0
                                 j
                                     j
                                         приближенное выражение (4.4) было точ-

ным. Для этого необходимо и достаточно, чтобы для любой сте-
пени коэффициенты при aj были равны. Поскольку
(x )( ) = j( j − 1)...( j − k + 1)x
   j k                                            j−k
                                                        ,     получаем          линейную             систему
уравнений относительно Ci:

                                                            47