Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 71 стр.

x0, x1 – начальная и конечная точки расчета;
M – число шагов численного метода;
F – векторная функция F(x, y) размера 1×N (N – размерность
системы), задающая правую часть системы ОДУ;
J – матричная функция J(x, yr ) размера N×(N+1), составленная
из вектора производных функции F(x, yr ) по x (левый столбец) и
ее якобиана (N правых столбцов).
     Решение выдается в виде матрицы.
     Далее показано решение жесткой системы ОДУ в MathCAD.
Пусть задана система ОДУ первого порядка с начальными усло-
виями
dy0                                                ⎛1⎞
     = −0.1y 0 + 10 2 y1 y 2                   r0 ⎜ ⎟
dx                                             y = ⎜ 0 ⎟ при x0 = 0.             (5.21)
dy1                                                ⎜0⎟
     = 0.1y0 − 10 2 y1 y 2 − 10 3 y1               ⎝ ⎠
dx
dy 2
     = 10 3 y1
dx
    Видно, что коэффициенты при разных слагаемых в правой
части данной системы имеют сильно различающиеся порядки.
Жесткость системы характеризуется матрицей Якоби (якобиа-
ном) данной системы, т.е. матрицей, составленной из частных
производных правой части по y0, y1 и y2. Чем ближе определи-
тель матрицы Якоби к нулю, тем жестче система. Используя
функции MathCAD, найдем якобиан системы ОДУ с начальны-
ми данными (5.21):

                      ⎛⎜      −0.1⋅ y + 100⋅ y ⋅ y
                                     0            1 2        ⎞⎟          ⎛1⎞
                                                                   y0 := ⎜ 0 ⎟
         F( x, y ) := ⎜ 0.1⋅ y 0 − 100⋅ y 1⋅ y 2 − 1000⋅ y 1 ⎟           ⎜ ⎟
                       ⎜                                      ⎟          ⎝0⎠
                       ⎜             1000⋅ y                  ⎟
                       ⎝                      1               ⎠




                                                73