Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 73 стр.

6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
 6.1. Основные понятия уравнений в частных производных
     В предыдущей главе изучены приближенные методы реше-
ния обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта глава
посвящена уравнениям в частных производных, к которым при-
водят задачи описания движения сплошных сред (газа, жидко-
сти, твердых тел), а также задачи теплопроводности, теории уп-
ругости, электрических и магнитных полей и многие другие.
Независимыми переменными в физических задачах являются
время t и пространственные координаты x, y, z. В качестве зави-
симых переменных используются компоненты скорости частиц
среды, плотность, давление, температура, упругие напряжения и
другие характеристики.
     Допустим, что решение требуется найти на временном про-
межутке [t0, t1] в некоторой области изменения независимых пе-
ременных G(x,y,z). Математическая постановка задачи состоит
из дифференциального уравнения, а также дополнительных ус-
ловий, позволяющих выделить единственное решение среди се-
мейства всех решений данного уравнения. Дополнительные ус-
ловия, заданные при t = t0, называются начальными данными, а
условия, заданные на границе области G(x,y,z) – граничными
или краевыми условиями. В качестве начальных и краевых ус-
ловий, как правило, задают значения искомых функций и их
производных. Задача, у которой имеются только начальные ус-
ловия, называется задачей Коши. Задача с начальными данными
и граничными условиями называется смешанной краевой зада-
чей или нестационарной краевой задачей. При исследовании ус-
тановившихся состояний или стационарных (не зависящих от
времени) процессов используются уравнения, не зависящие от
времени. В этом случае решение ищется в области G(x,y,z), на
границе которой задаются граничные условия. Такие задачи на-
зываются краевыми.
     Особым вопросом в теории дифференциальных уравнений
является корректность постановки начальных и смешанных за-
дач. Корректной называется такая постановка дополнительных
                              75