Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 75 стр.

кация уравнений связана с наличием характеристических на-
правлений, или характеристик. Характеристическим называется
направление, вдоль которого исходное уравнение может быть
записано в виде полного дифференциала и, следовательно, мо-
жет быть проинтегрировано. Гиперболические уравнения имеют
две вещественные характеристики, параболические уравнения –
одну, а эллиптические уравнения не имеют вещественных ха-
рактеристик. Физические процессы, описываемые уравнениями
перечисленных типов, корректные постановки задач и свойства
решений существенно отличаются друг от друга. Далее будут
приведены примеры уравнений различных типов и описаны ме-
тоды их решений.
    Одним из эффективных численных подходов к решению
уравнений в частных производных является применение конеч-
но-разностных методов. В п. 5.2 мы уже познакомились с ко-
нечно-разностным методом решения краевой задачи для ОДУ.
Напомним, что сущность этого универсального метода состоит
в том, что исходная дифференциальная задача заменяется разно-
стной, далее решается система алгебраических уравнений. При-
ближенное решение при этом ищется в узлах сетки.
    Для решения задачи при помощи конечно-разностных ме-
тодов необходимо построить такие разностные схемы, которые
бы обеспечивали сходимость получаемого решения разностной
задачи к решению исходной дифференциальной при измельче-
нии сетки. В теории разностных схем доказана теорема о том,
что если разностная краевая задача аппроксимирует дифферен-
циальную задачу и устойчива, то при измельчении сетки реше-
ние разностной задачи сходится к решению дифференциальной.
Из этого следует, что необходимо строить аппроксимирующие
разностные схемы и выбирать среди них устойчивые.

              6.2. Параболические уравнения
Постановка задачи
    К параболическим уравнениям приводят задачи теплопро-
водности, диффузии и некоторые другие. Рассмотрим уравнения
этого типа на примере одномерного (т.е. с одной пространст-
венной переменной) линейного уравнения теплопроводности с
                             77