Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 76 стр.

постоянными коэффициентами, описывающими распростране-
ние тепла в тонких однородных стержнях:
                      ∂u    ∂ 2u                             (6.1)
                         = A 2 + F ( x,t ).
                      ∂t    ∂x
Здесь А > 0 – константа (коэффициент теплопроводности); u(x,t)
– искомое решение; F(x,t) – правая часть. Будем искать решение
в области 0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t≤ T. Корректная постановка задачи кро-
ме уравнения (6.1) включает в себя начальные данные:
                          u(x,0) = u0(x)                     (6.2)
и краевые условия. Наиболее хорошо изучены линейные задачи,
в которых краевые условия, как и само уравнение, линейны.
Существует три типа краевых условий, которые называют усло-
виями первого, второго и третьего рода. Условия первого рода
означают, что на границах области задана зависимость темпе-
ратуры от времени:
                      u(0,t) = μ11(t), u(L,t) = μ12(t).     (6.3′)
    Условия второго рода задают тепловые потоки (производ-
ные от температуры) через границы области:
                  ux(0,t) = μ21(t), ux(L,t) = μ22(t). (6.3′′)
    И наконец, условия третьего рода задают на границе линей-
ную комбинацию искомой функции и ее производной:
                 u(0,t)+ α1ux(0,t) = μ31(t),
                                                      (6.3′′′)
                 u(L,t)+ α2ux(L,t) = μ32(t) t .
                                             i


В курсе дифференциальных уравнений доказано, что уравнение
(6.1) с начальными данными (6.2) и краевыми условиями или
(6.3′), или (6.3′′), или (6.3′′′) имеет единственное решение. Рас-
смотрим методы приближенного решения поставленной задачи.
Конечно-разностные схемы для одномерного уравнения
     Введем в области решения прямоугольную равномерную
разностную сетку. Для этого разобьем отрезок [0,T] на М равных
частей: ti = i⋅τ, τ = Τ/Μ, а отрезок [0, L] – на N равных частей:

                                78