Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 78 стр.

UptoLike

80
Для нахождения решения в крайних точках отрезка [0,L] необ-
ходимо использовать краевые условия. Если заданы краевые ус-
ловия первого рода, можно сразу определить значения искомых
функций:
u
i
0
=
μ
11
(t
i
), u
i
M
=
μ
12
(t
i
). Для условий второго рода
получим: ).(),(
1
22
1
1
1
1
21
1
1
1
0
++
+
+
+
+
+==
ii
M
i
M
i
i
i
thuuthuu
μμ
Пусть
u(t,x) – точное решение. Исследуем, насколько чис-
ленное решение, полученное по схеме (6.4), отличается от точ-
ного. Для этого разложим
u(t
i
,x
j
±
1
), u(t
i+1
,x
j
) в ряд Тейлора в ок-
рестности точки (
x
j
,t
i
):
K
K
+++=+=
+±+±=±=
+
±
i
jtt
i
jt
i
jj
ii
j
i
jxxxx
i
jxxx
i
jxx
i
jx
i
jj
ii
j
uuuxtuu
u
h
u
h
u
h
uhuhxtuu
)(
2
)(),(
,)(
24
)(
6
)(
2
)(),(
2
1
432
1
τ
ττ
и подставим эти выражения в разностную схему (6.4):
.)(
12
)(
2
),()()(
),(
)(
24
)(
6
)(
2
)(
2)(
24
)(
6
)(
2
)(
...)(
2
)(
),(
2
2
2
432
2
432
2
2
11
1
i
jxxxx
i
jtt
i
j
i
jxx
i
jt
i
j
i
jxxxx
i
jxxx
i
jxx
i
jx
i
j
i
j
i
jxxxx
i
jxxx
i
jxx
i
jx
i
j
i
j
i
jtt
i
jt
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
u
h
AutxFuAu
txF
h
u
h
u
h
u
h
uhu
h
uu
h
u
h
u
h
uhu
A
uuuu
txF
h
uuu
A
uu
+=
=
++
+
+
++++
+++
=
=
+
+
τ
τ
τ
τ
τ
K
Первые три члена являются невязкой этого уравнения в
точке (t
i
, x
j
) и равны 0, поскольку u(x,t) – решение уравнения
(6.1). Следовательно, погрешность этой схемы
Для нахождения решения в крайних точках отрезка [0,L] необ-
ходимо использовать краевые условия. Если заданы краевые ус-
ловия первого рода, можно сразу определить значения искомых
функций: ui0 = μ11(ti), uiM = μ12(ti). Для условий второго рода
                            i +1                  i +1
получим: u0i +1 = u1 − hμ 21 (t i +1 ), uM = uMi +1−1 + hμ 22 (t i +1 ).
        Пусть u(t,x) – точное решение. Исследуем, насколько чис-
ленное решение, полученное по схеме (6.4), отличается от точ-
ного. Для этого разложим u(ti,x j±1), u(ti+1,xj) в ряд Тейлора в ок-
рестности точки (xj,t i):
                                                h2          h3             h4
u ij ±1 = u (t i , x j ± h) = u ij ± h(u x )ij + (u xx )ij ± (u xxx ) ij +    (u xxxx ) ij K ,
                                                2           6              24
                                                            τ2
u ij+1 = u (t i + τ , x j ) = u ij + τ (ut ) ij +                (utt ) ij + K
                              2
и подставим эти выражения в разностную схему (6.4):
u ij1 − u ij        u ij +1 − 2 u ij + u ij −1
               −A                                  − F (x j ,ti ) =
     τ                           h2
                            τ2
    u ij + τ (u t ) ij +         ( u tt ) ij + ... − u ij
=                           2                               −
                            τ
   ⎛ i                    h2               h3                h4
   ⎜ u j + h ( u x ) ij +    ( u xx ) ij +    ( u xxx ) ij +    ( u xxxx ) ij − 2 u ij
− A⎜                      2                6                 24                        +
   ⎜                                       h2
   ⎜
   ⎝
                            h2                h3                h4                ⎞
    u ij − h ( u x ) ij +      ( u xx ) ij −     ( u xxx ) ij +    (u xxxx ) ij K ⎟
+                           2                  6                24                ⎟ − F (x ,ti ) =
                                            h 2                                   ⎟       j

                                                                                  ⎟
                                                                                  ⎠
                                                     τ                     h2
= ( u t ) ij − A (u xx ) ij − F ( x j , t i ) +          ( u tt ) ij − A      ( u xxxx ) ij .
                                                     2                     12
     Первые три члена являются невязкой этого уравнения в
точке (t i, xj) и равны 0, поскольку u(x,t) – решение уравнения
(6.1). Следовательно, погрешность этой схемы


                                                            80