Составители:
80
Для нахождения решения в крайних точках отрезка [0,L] необ-
ходимо использовать краевые условия. Если заданы краевые ус-
ловия первого рода, можно сразу определить значения искомых
функций:
u
i
0
=
μ
11
(t
i
), u
i
M
=
μ
12
(t
i
). Для условий второго рода
получим: ).(),(
1
22
1
1
1
1
21
1
1
1
0
++
−
+
+
+
+
+=−=
ii
M
i
M
i
i
i
thuuthuu
μμ
Пусть
u(t,x) – точное решение. Исследуем, насколько чис-
ленное решение, полученное по схеме (6.4), отличается от точ-
ного. Для этого разложим
u(t
i
,x
j
±
1
), u(t
i+1
,x
j
) в ряд Тейлора в ок-
рестности точки (
x
j
,t
i
):
K
K
+++=+=
+±+±=±=
+
±
i
jtt
i
jt
i
jj
ii
j
i
jxxxx
i
jxxx
i
jxx
i
jx
i
jj
ii
j
uuuxtuu
u
h
u
h
u
h
uhuhxtuu
)(
2
)(),(
,)(
24
)(
6
)(
2
)(),(
2
1
432
1
τ
ττ
и подставим эти выражения в разностную схему (6.4):
.)(
12
)(
2
),()()(
),(
)(
24
)(
6
)(
2
)(
2)(
24
)(
6
)(
2
)(
...)(
2
)(
),(
2
2
2
432
2
432
2
2
11
1
i
jxxxx
i
jtt
i
j
i
jxx
i
jt
i
j
i
jxxxx
i
jxxx
i
jxx
i
jx
i
j
i
j
i
jxxxx
i
jxxx
i
jxx
i
jx
i
j
i
j
i
jtt
i
jt
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
u
h
AutxFuAu
txF
h
u
h
u
h
u
h
uhu
h
uu
h
u
h
u
h
uhu
A
uuuu
txF
h
uuu
A
uu
−+−−=
=−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
+−+−
+
+
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−++++
−
−
−+++
=
=−
+−
−
−
−+
τ
τ
τ
τ
τ
K
Первые три члена являются невязкой этого уравнения в
точке (t
i
, x
j
) и равны 0, поскольку u(x,t) – решение уравнения
(6.1). Следовательно, погрешность этой схемы
Для нахождения решения в крайних точках отрезка [0,L] необ-
ходимо использовать краевые условия. Если заданы краевые ус-
ловия первого рода, можно сразу определить значения искомых
функций: ui0 = μ11(ti), uiM = μ12(ti). Для условий второго рода
i +1 i +1
получим: u0i +1 = u1 − hμ 21 (t i +1 ), uM = uMi +1−1 + hμ 22 (t i +1 ).
Пусть u(t,x) – точное решение. Исследуем, насколько чис-
ленное решение, полученное по схеме (6.4), отличается от точ-
ного. Для этого разложим u(ti,x j±1), u(ti+1,xj) в ряд Тейлора в ок-
рестности точки (xj,t i):
h2 h3 h4
u ij ±1 = u (t i , x j ± h) = u ij ± h(u x )ij + (u xx )ij ± (u xxx ) ij + (u xxxx ) ij K ,
2 6 24
τ2
u ij+1 = u (t i + τ , x j ) = u ij + τ (ut ) ij + (utt ) ij + K
2
и подставим эти выражения в разностную схему (6.4):
u ij1 − u ij u ij +1 − 2 u ij + u ij −1
−A − F (x j ,ti ) =
τ h2
τ2
u ij + τ (u t ) ij + ( u tt ) ij + ... − u ij
= 2 −
τ
⎛ i h2 h3 h4
⎜ u j + h ( u x ) ij + ( u xx ) ij + ( u xxx ) ij + ( u xxxx ) ij − 2 u ij
− A⎜ 2 6 24 +
⎜ h2
⎜
⎝
h2 h3 h4 ⎞
u ij − h ( u x ) ij + ( u xx ) ij − ( u xxx ) ij + (u xxxx ) ij K ⎟
+ 2 6 24 ⎟ − F (x ,ti ) =
h 2 ⎟ j
⎟
⎠
τ h2
= ( u t ) ij − A (u xx ) ij − F ( x j , t i ) + ( u tt ) ij − A ( u xxxx ) ij .
2 12
Первые три члена являются невязкой этого уравнения в
точке (t i, xj) и равны 0, поскольку u(x,t) – решение уравнения
(6.1). Следовательно, погрешность этой схемы
80
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- …
- следующая ›
- последняя »
