Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГАСУ «Сибстрин» | Новосибирск

Составители: 

Рубрика: 

81
i
jxxxx
i
jtt
u
h
Au )(
12
)(
2
2
−
τ
,
т.е. схема является схемой первого порядка аппроксимации по
времени и второго порядка – по пространству. Преимуществом
явной схемы является то, что решение может быть найдено по
явным алгебраическим формулам. Однако, как показали расче-
ты, приближенное решение, полученное с помощью явной схе-
мы, может быть неустойчивым. Неустойчивость приводит к бы-
строму (
экспоненциальному) росту погрешностей, вносимых в
численное решение за счет ошибок округления. Исследование
устойчивости, выполненное на простейших решениях в виде
единичной гармоники (Фурье-анализ) [5], показывает, что эти
решения будут устойчивы, если
γ =
2
1
2
≤
h
A
τ
. (6.5)
Параметр γ называется числом Куранта. При нарушении усло-
вия (6.5) в численном решении возникают пилообразные осцил-
ляции, амплитуда которых быстро растет, и за несколько вре-
менных шагов решение «разваливается».
Для иллюстрации приведем пример решения в пакете
MathCAD уравнения (6.1), A = 1, F(x,t) = 0, c нулевыми краевы-
ми условиями первого рода 0),1(),0(
=
=
tutu и с начальными
данными в виде гауссоиды, центрированной относительно точки
x = 1/2:
222
)5.0(20)5.1(20)5.0(20
)0,(
+−−−−−
−−=
xxx
eeex
ϕ
. (6.6)
Задача имеет точное решение
)(
801
1
),(
801
)5.0(20
801
)5.1(20
801
)5.0(20
222
t
x
t
x
t
x
eee
t
txu
+
+
−
+
−
−
+
−
−
−−
+
=
,
график которого приведен на рис. 6.2. 
                                 τh2
                                      (utt )ij − A
                                      (u xxxx )ij ,
                        2         12
т.е. схема является схемой первого порядка аппроксимации по
времени и второго порядка – по пространству. Преимуществом
явной схемы является то, что решение может быть найдено по
явным алгебраическим формулам. Однако, как показали расче-
ты, приближенное решение, полученное с помощью явной схе-
мы, может быть неустойчивым. Неустойчивость приводит к бы-
строму (экспоненциальному) росту погрешностей, вносимых в
численное решение за счет ошибок округления. Исследование
устойчивости, выполненное на простейших решениях в виде
единичной гармоники (Фурье-анализ) [5], показывает, что эти
решения будут устойчивы, если
                             τ 1
                        γ= A 2 ≤ .                             (6.5)
                             h    2
Параметр γ называется числом Куранта. При нарушении усло-
вия (6.5) в численном решении возникают пилообразные осцил-
ляции, амплитуда которых быстро растет, и за несколько вре-
менных шагов решение «разваливается».
     Для иллюстрации приведем пример решения в пакете
MathCAD уравнения (6.1), A = 1, F(x,t) = 0, c нулевыми краевы-
ми условиями первого рода u (0, t ) = u (1, t ) = 0 и с начальными
данными в виде гауссоиды, центрированной относительно точки
x = 1/2:
                                  2                      2                          2
         ϕ ( x,0) = e −20( x − 0.5) − e −20( x −1.5) − e −20( x + 0.5) .                                        (6.6)
Задача имеет точное решение
                                      20 ( x − 0.5 ) 2       20 ( x −1.5 ) 2            20 ( x + 0.5 ) 2
                      1       −           −                                         −
       u ( x, t ) =         (e 1+ 80t − e                       1+ 80 t        −e          1+ 80 t         ),
                    1 + 80t
график которого приведен на рис. 6.2.




                                                  81

Страницы