Численные методы решения инженерных задач в пакете MathCAD. Бедарев И.А - 80 стр.

         1

        0.8                                          0
                                                     0.01
        0.6                                          0.05
                                                     0.1
                                                     0.2
        0.4

        0.2

         0
              0     0.2      0.4        0.6    0.8          1

 Рис. 6.2. Точное решение (6.1), (6.6) на различные моменты времени
     Из рис. 6.2 видно, что точное решение монотонно убывает
со временем. Воспользуемся для решения явной схемой (6.4) на
сетке h = 0.1, τ = 0.02. Легко проверить, что в этом случае усло-
                                          τ 0.02         1
вие (6.5) нарушается. Действительно, A 2 =          = 2 > , и сле-
                                          h    0.01      2
дует ожидать, что решение будет неустойчиво. Приведенный на
рис. 6.3 пример показывает, что уже через несколько временных
шагов численное решение становится немонотонным, и в даль-
нейшем его график приобретает характерный «пилообразный»
вид. Амплитуда «осцилляций» быстро растет, что приводит к
переполнению арифметического устройства.
     На практике условие (6.5) означает, что расчет приходится
вести с очень маленьким шагом по временной переменной, что
существенно ограничивает применение явных схем для решения
уравнения теплопроводности. В самом деле, пусть h = 10–2,
A = 1, тогда согласно (6.5) для получения устойчивого решения
необходимо соблюдать условие τ < 5⋅10–5. Если решение надо
получить на момент времени T = 1, то для этого надо сделать
N = 2⋅104 временных шагов. Если же решение надо получить на
более подробной сетке по пространственной переменной, на-
пример h = 10–3, то число временных шагов возрастет до
N = 2⋅106, и использование явной схемы делает решение задачи
нереализуемым.
                                   82